一様な正規近傍（コンパクトな場合）

補題 2.4（「熱核の漸近展開」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\varepsilon\gt0$ があって次が成り立つ。

各 $y\in M$ で $\exp_y$ は $B_{2\varepsilon}(0)\subset T_yM$ から距離球 $B(y,2\varepsilon)=\lbrace x:d(x,y)\lt2\varepsilon\rbrace$ への微分同相で、 $d(\exp_yv,y)=|v|$ 。
$\Psi(y,v)=(\exp_yv,\,y)$ は $\mathcal{V}=\lbrace(y,v)\in TM:|v|\lt2\varepsilon\rbrace$ から $U=\lbrace(x,y)\in M\times M:d(x,y)\lt2\varepsilon\rbrace$ への微分同相である。とくに $d^2$ は $U$ 上で滑らかである。
さらに、直径が $6\varepsilon$ 未満の $M$ の部分集合は、 $E$ の自明化と $TM$ の正規直交枠をもつ一つの座標近傍に含まれるようにできる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 78 件、定義なども含めて 94 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
- Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
  - 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
    指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性この先をたどる →
    対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性この先をたどる →
  - 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
- 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性この先をたどる →
- 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
- 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間

これを使っている定理証明で参照している 3 件

動径方向の計算✓補題 2.5・熱核の漸近展開
輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開
近似核の作用の評価✓補題 4.1・熱核の漸近展開

一様な正規近傍（コンパクトな場合）

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件