近似核の作用の評価

補題 4.1（「熱核の漸近展開」§4）・ ✓公理まで証明済み

$N\ge0$ 、 $T\gt0$ を固定する。定数 $C_0$ 、 $C_m$ があって $0\lt u\le T$ で次が成り立つ。

$\sup_x\int_M|k^N_u(x,z)|\,d\mu(z)\le C_0$ 、 $\sup_z\int_M|k^N_u(x,z)|\,d\mu(x)\le C_0$ 。
$g$ が連続なら、 $u\to0$ で $k^N_ug\to g$ （ $M$ 上一様）。
$g$ が $C^m$ 級なら $k^N_ug$ も $C^m$ 級で $\|k^N_ug\|_{C^m}\le C_m\|g\|_{C^m}$ であり、 $m$ 階までの導関数は $(u,x)$ について連続である。 $g$ が $C^1$ 級なら $|\partial_u(k^N_ug)(x)|\le C_1u^{-1/2}\|g\|_{C^1}$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 149 件、定義なども含めて 172 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開
- 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
  - Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性この先をたどる →
- Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性この先をたどる →
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
変数変換公式（ルベーグ積分版）✓定理 4.5・ℝ^d の変数変換公式と極座標
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
- コンパクト距離空間上の連続関数は一様連続✓補題 2.2・Arzelà–Ascoli と Stone–Weierstrass
  - 距離空間のコンパクト性の同値条件✓定理 4.3・距離空間この先をたどる →
  - ルベーグ数の補題✓補題 4.2・距離空間
- 立方体の像の測度✓補題 4.4・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 開集合の 2 進立方体分解✓補題 2.3・ℝ^d の変数変換公式と極座標
  - 箱の測度と超平面✓補題 2.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標この先をたどる →
- 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 単関数近似定理✓定理 3.7・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
ガウス積分✓定理 3.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数
- 比較判定法と絶対収束✓定理 2.3・広義積分・パラメータ積分とガンマ関数この先をたどる →
- 置換積分✓定理 6.1・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
輸送方程式の解✓命題 3.2・熱核の漸近展開
- 一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開（上で展開済み）
- 積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）
ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
- 零集合は積分に影響しない✓命題 6.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ファトゥの補題✓補題 6.1・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
積分記号下の微分✓系 7.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
- $L^1$ の線型性と三角不等式✓命題 7.2・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理この先をたどる →
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- ルベーグの優収束定理✓定理 7.3・ルベーグ積分の定義と収束定理（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Duhamel の公式✓補題 4.3・熱核の漸近展開
熱核の存在・一意性・近似✓定理 4.6・熱核の漸近展開
熱作用素の基本性質✓命題 5.1・熱核の漸近展開

近似核の作用の評価

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件