数学 › 微分幾何学 › 熱核の漸近展開

輸送方程式の解

命題 3.2（「熱核の漸近展開」§3） ・ ✓公理まで証明済み

x∈B(y,2ε)x\in B(y,2\varepsilon) を x=exp⁡yvx=\exp_yv と書き、xρ=exp⁡y(ρv)x_\rho=\exp_y(\rho v)（0≤ρ≤10\le\rho\le1）とする。UU 上の Hom⁡(Ey,Ex)\operatorname{Hom}(E_y,E_x) に値をとる切断を

Φ0(x,y)=j(x,y)−1/2τ(x,y),\Phi_0(x,y)=j(x,y)^{-1/2}\tau(x,y),Φk(x,y)=−j(x,y)−1/2 τ(x,y)∫01ρk−1 τ(xρ,y)−1(j1/2PxΦk−1)(xρ,y) dρ(k≥1)\Phi_k(x,y)=-j(x,y)^{-1/2}\,\tau(x,y)\int_0^1\rho^{k-1}\,\tau(x_\rho,y)^{-1}\bigl(j^{1/2}P_x\Phi_{k-1}\bigr)(x_\rho,y)\,d\rho\qquad(k\ge1)

で帰納的に定める（PxP_x は第 1 変数に作用する）。このとき各 Φk\Phi_k は UU 上で滑らかで、各 yy について輸送方程式をみたし、Φ0(y,y)=id\Phi_0(y,y)=\mathrm{id}、

Φk(y,y)=−1k(PxΦk−1)(y,y)(k≥1)\Phi_k(y,y)=-\frac1k\bigl(P_x\Phi_{k-1}\bigr)(y,y)\qquad(k\ge1)

である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 95 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件