多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相

$(M, \mathcal{A})$ を $m$ 次元 $C^k$ 多様体、$(N, \mathcal{B})$ を $n$ 次元 $C^k$ 多様体、$F \colon M \to N$ とする。

1. $F$ が $C^k$ 級であるとは、各点 $p \in M$ に対して、$p \in U$ なるチャート $(U, \varphi) \in \mathcal{A}$ と $F(p) \in V$ なるチャート $(V, \psi) \in \mathcal{B}$ で $F(U) \subset V$ を満たすものが存在して、チャート表示

   $$\psi \circ F \circ \varphi^{-1} \colon \varphi(U) \longrightarrow \psi(V) \subset \mathbb{R}^n$$

   が $C^k$ 級であることをいう。

2. $F$ が $C^k$ 微分同相写像であるとは、$F$ が全単射で、$F$ と $F^{-1}$ がともに $C^k$ 級であることをいう。$M$ から $N$ への $C^k$ 微分同相写像が存在するとき、$M$ と $N$ は微分同相であるという。