測地線の局所最短性

定理 4.2（「測地線と完備性」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\exp_p$ が $B_\varepsilon(0)$ 上で像 $U$ への微分同相であるとし、 $w\in B_\varepsilon(0)$ 、 $q=\exp_p(w)$ とする。 $p$ と $q$ を結ぶ任意の区分的に滑らかな曲線 $c$ について $L(c)\ge|w|$ であり、等号は $c$ が動径測地線 $t\mapsto\exp_p(tw)$ $(0\le t\le1)$ の単調なパラメータ変換であるときに限る。とくに $d(p,q)=|w|$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 75 件、定義なども含めて 91 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
- 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
    測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性この先をたどる →
    多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性
    対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）
    平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
  - 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
    曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
最短曲線は測地線✓系 4.5・測地線と完備性
指数写像が全域で定義される点からの最短測地線✓補題 5.1・測地線と完備性
一様な正規近傍（コンパクトな場合）✓補題 2.4・熱核の漸近展開
−4Δ + V の最小固有値と正の固有関数✓補題 4.2・ポアンカレ予想 II

測地線の局所最短性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件