数学 › 微分幾何学 › 測地線と完備性

最短曲線は測地線

系 4.5（「測地線と完備性」§4）・ ✓公理まで証明済み

区分的に滑らかで速さが一定の曲線 $c\colon[a,b]\to M$ が $L(c)=d(c(a),c(b))$ を満たすならば、 $c$ は（折れ曲がりのない）測地線である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 77 件、定義なども含めて 93 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
- Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
  - 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
    指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性この先をたどる →
    対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性この先をたどる →
  - 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル

これを使っている定理証明で参照している 2 件

指数写像が全域で定義される点からの最短測地線✓補題 5.1・測地線と完備性
双曲平面の測地線と距離✓定理 7.2・測地線と完備性