Jacobi 場の基本性質
を測地線とする。
- 各 で が測地線であるような変分 （）の変分ベクトル場 は Jacobi 場である。
- 任意の に対し、、 となる Jacobi 場がただ一つ存在する。Jacobi 場の全体は 次元の線形空間である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 48 件、定義なども含めて 61 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
- Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
- 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
- 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
- 近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性
平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
- 導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
- Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
- 微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
- 微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分 この先をたどる →
- 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
- Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性（上で展開済み）
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
- 共役点と指数写像の臨界点✓命題 6.2・測地線と完備性
- 共役点を越えた測地線は最短でない✓定理 6.5・測地線と完備性
- 正規座標での計量の展開✓補題 6.2・熱核の漸近展開
- Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造