正規座標での計量の展開

補題 6.2（「熱核の漸近展開」§6）・ ✓公理まで証明済み

$y\in M$ を中心とし正規直交基底 $e_1,\dots,e_n$ に関する正規座標をとり、 $x=\sum_ix^ie_i\in T_yM$ と同一視する。

$g_{ij}(x)=\delta_{ij}-\dfrac13R(e_i,x,x,e_j)+O(|x|^3)$ 。とくに $\partial_kg_{ij}(0)=0$ 、 $\Gamma^k_{ij}(0)=0$ 。
$j(x,y)=1-\dfrac16\operatorname{Ric}(x,x)+O(|x|^3)$ 。
各多重指数 $\gamma$ について、 $\partial^\gamma g_{ij}(0)$ は $\nabla^pR$ （ $0\le p\le|\gamma|-2$ ）の $y$ での $e_1,\dots,e_n$ に関する成分の多項式で、その多項式は $n,i,j,\gamma$ だけで決まる（多様体によらない）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 76 件、定義なども含めて 94 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
    Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    最大解は端点でコンパクト集合から脱出する✓定理 6.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
Levi-Civita 接続の平行移動は等長✓定理 6.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性
- 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
  - 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
- 平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
    多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性（上で展開済み）
- 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）
Jacobi 場定義 3.2・測地線と完備性
曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
Riemann 幾何の基本定理（Levi-Civita）✓定理 5.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
- テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
断面曲率・Ricci 曲率・スカラー曲率定義 4.1・曲率テンソル

これを使っている定理証明で参照している 2 件

係数 a₀ と a₁✓命題 6.3・熱核の漸近展開
係数の局所性と普遍性✓命題 6.4・熱核の漸近展開

正規座標での計量の展開

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件