測地線の存在と一意性

命題 2.2（「測地線と完備性」§2）・ ✓公理まで証明済み

$TM$ 上の滑らかなベクトル場 $G$ （測地流ベクトル場）で、その積分曲線がちょうど $t\mapsto(\gamma(t),\dot\gamma(t))$ （ $\gamma$ は測地線）の形の曲線になるものが存在する。
各 $v\in T_pM$ に対し、 $\gamma(0)=p$ 、 $\dot\gamma(0)=v$ となる測地線 $\gamma_v$ で、定義域 $I_v$ （ $0$ を含む開区間）が極大なものがただ一つ存在する。
$a\ne0$ なら $I_{av}=a^{-1}I_v$ で、 $\gamma_{av}(t)=\gamma_v(at)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 53 件、定義なども含めて 67 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
    一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
    縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性
    初期値・初期時刻への連続依存性✓定理 7.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期値への微分可能依存性✓定理 8.1・解の存在と一意性この先をたどる →
    初期時刻での微分✓系 8.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性（上で展開済み）
    流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 4 件

指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
Hopf–Rinow の定理✓定理 5.2・測地線と完備性
双曲平面の測地線と距離✓定理 7.2・測地線と完備性
Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造

測地線の存在と一意性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 4 件