Hopf–Rinow の定理
を連結な Riemann 多様体とする。次は同値である。
- の有界閉集合はコンパクトである。
- は完備な距離空間である。
- は測地的に完備である：すべての測地線が 全体に延長できる（）。
- ある点 で が 全体で定義される。
さらにこれらが成り立つとき、任意の 2 点は長さが距離に等しい測地線で結べる。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 81 件、定義なども含めて 97 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
指数写像が全域で定義される点からの最短測地線✓補題 5.1・測地線と完備性
Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性
測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性
Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
- 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性 この先をたどる →
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
- 多様体間の 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性 この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
- Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
- 初期値への 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性 この先をたどる →
- パラメータへの 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 5 件
- 静的な積の因果関係✓補題 6.9・因果階層
- warped 積の大域双曲性✓定理 6.10・因果階層
- Bonnet–Myers の定理✓定理 6.6・測地線と完備性
- 双曲平面の測地線と距離✓定理 7.2・測地線と完備性
- Hamilton の葉巻ソリトン✓命題 3.9・ポアンカレ予想 I