warped 積の大域双曲性
を開区間、 を連結で完備な Riemann 多様体、 を滑らかな関数とし、（計量 ）とする。
- は時間的関数である。
- は大域双曲的である。
- 各 について、断面 はすべての非延長的な因果的曲線とちょうど 1 回交わる。とくに Cauchy 曲面である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 122 件、定義なども含めて 142 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
- 共形変換と因果構造✓補題 6.8・因果階層
時間的関数は時間関数✓命題 4.4・因果階層
- 時間錐の基本性質✓補題 2.1・Lorentz 多様体の因果構造
時間関数があれば強因果的✓定理 4.5・因果階層
一様な正規近傍（Lorentz 版）✓補題 4.3・Lorentz 多様体の因果構造
- 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性（上で展開済み）
- Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造 この先をたどる →
多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
- 多様体間の 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
因果関係の局所的な閉性✓系 4.8・Lorentz 多様体の因果構造
- 局所因果構造✓定理 4.4・Lorentz 多様体の因果構造 この先をたどる →
- 一様な正規近傍（Lorentz 版）✓補題 4.3・Lorentz 多様体の因果構造（上で展開済み）
静的な積の因果関係✓補題 6.9・因果階層
- Hopf–Rinow の定理✓定理 5.2・測地線と完備性（上で展開済み）
閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
Hopf–Rinow の定理✓定理 5.2・測地線と完備性
指数写像が全域で定義される点からの最短測地線✓補題 5.1・測地線と完備性
ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
- 閉直方体はコンパクト✓補題 5.1・コンパクト性（上で展開済み）
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性 この先をたどる →
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
- コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性（上で展開済み）
一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性 この先をたどる →
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 超フィルターの補題✓定理 5.8・積位相・商位相と Tychonoff の定理 この先をたどる →
超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 超フィルターの特徴づけ✓補題 5.7・積位相・商位相と Tychonoff の定理
- 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
中間値の定理✓定理 6.1・連結性
R の連結部分集合の決定✓定理 4.1・連結性
- 上限の存在（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・実数の完備性とコーシー列 この先をたどる →
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。