数学 › 微分幾何学 › Lorentz 多様体の因果構造

局所因果構造

定理 4.4（「Lorentz 多様体の因果構造」§4） ・ ✓公理まで証明済み

W,δW,\delta を 補題 4.3 のとおりとし、x∈Wx\in W とする。

  1. v∈Bδ(x)v\in B_\delta(x) が未来向き因果的（時間的）なら、cv(s)=exp⁡x(sv)c_v(s)=\exp_x(sv)（0≤s≤10\le s\le1）は xx から exp⁡x(v)\exp_x(v) への未来向き因果的（時間的）曲線である。
  2. x′∈Wx'\in W が Px′(x)∈Tx′+P_{x'}(x)\in T^+_{x'} を満たすとする。WW 内の未来向き因果的曲線 α ⁣:[0,1]→W\alpha\colon[0,1]\to W が α(0)=x\alpha(0)=x ならば、すべての ss で Px′(α(s))∈Tx′+P_{x'}(\alpha(s))\in T^+_{x'} である。
  3. WW 内の未来向き時間的曲線 α ⁣:[0,1]→W\alpha\colon[0,1]\to W が α(0)=x\alpha(0)=x ならば、0<s≤10\lt s\le1 で Px(α(s))∈Tx+P_x(\alpha(s))\in T^+_x である。
  4. WW 内の未来向き因果的曲線 α ⁣:[0,1]→W\alpha\colon[0,1]\to W が α(0)=x\alpha(0)=x ならば、すべての ss で Px(α(s))∈C‾x+P_x(\alpha(s))\in\overline{C}^+_x であり、α(s)≠x\alpha(s)\ne x なら Px(α(s))∈Cx+P_x(\alpha(s))\in C^+_x である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件