物理学 › 一般相対性理論 › 曲がった時空のテンソル解析

接続（共変微分）

定義 3.1（「曲がった時空のテンソル解析」§3）

滑らかなベクトル場 X,YX,Y に対してベクトル場 ∇XY\nabla_XY を対応させる規則 ∇\nabla が次を満たすとき、接続（アフィン接続）という。

  1. ∇fX+hZY=f∇XY+h∇ZY\nabla_{fX+hZ}Y=f\nabla_XY+h\nabla_ZY（f,hf,h は滑らかな関数）。
  2. ∇X(Y+Z)=∇XY+∇XZ\nabla_X(Y+Z)=\nabla_XY+\nabla_XZ、かつ ∇X(fY)=X(f) Y+f ∇XY\nabla_X(fY)=X(f)\,Y+f\,\nabla_XY（ライプニッツ則）。

関数には ∇Xf=X(f)\nabla_Xf=X(f) と定める。さらに ∇X\nabla_X をテンソル場へ、積に対するライプニッツ則 ∇X(S⊗T)=∇XS⊗T+S⊗∇XT\nabla_X(S\otimes T)=\nabla_XS\otimes T+S\otimes\nabla_XT と、縮約との可換性 ∇X(C T)=C(∇XT)\nabla_X(\mathrm{C}\,T)=\mathrm{C}(\nabla_XT) を課して拡張する。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件