接続の成分表示

座標系で次が成り立つ。

1. ベクトル場について $\nabla_\mu V^\lambda=\partial_\mu V^\lambda+\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}V^\nu$。すなわち $\nabla_XY=X^\mu(\partial_\mu Y^\lambda+\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}Y^\nu)\partial_\lambda$。
2. 余ベクトル場について $\nabla_\mu\omega_\nu=\partial_\mu\omega_\nu-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\omega_\lambda$。一般のテンソルでは、上付き添字 1 個につき $+\Gamma$ の項、下付き添字 1 個につき $-\Gamma$ の項が付く（例：$\nabla_\mu T^{\alpha}{}_{\beta}=\partial_\mu T^{\alpha}{}_{\beta}+\Gamma^\alpha{}_{\mu\lambda}T^\lambda{}_\beta-\Gamma^\lambda{}_{\mu\beta}T^\alpha{}_\lambda$）。
3. ねじれなしであることは $\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}=\Gamma^\lambda{}_{\nu\mu}$ と同値である。
4. 計量適合であることは $\partial_\mu g_{\nu\lambda}=\Gamma_{\lambda,\mu\nu}+\Gamma_{\nu,\mu\lambda}$ と同値である。