測地線方程式の性質

命題 5.2（「曲がった時空のテンソル解析」§5）・ ✓公理まで証明済み

測地線は

\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}=0

を満たす。 2. 曲線に沿った 2 つのベクトル場 $V,W$ に対し $\dfrac{d}{d\lambda}g(V,W)=g\!\left(\dfrac{DV}{d\lambda},W\right)+g\!\left(V,\dfrac{DW}{d\lambda}\right)$ 。 3. 測地線に沿って $g(u,u)$ は定数である。したがって時間的・ヌル・空間的の別は測地線全体で変わらない。 4. 点 $p$ と $v\in T_pM$ を与えると、 $x(0)=p$ 、 $u(0)=v$ を満たす測地線が、開区間上の最大のものとしてただ 1 つ存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析
- 接続（共変微分）定義 3.1・曲がった時空のテンソル解析
最大解の存在と一意性✓系 4.2・解の存在と一意性
- 延長と最大解定義 6.1・常微分方程式の初等解法
- Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
  - 一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
    一様コーシー列定義 6.1・関数列と一様収束
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束
    一様収束定義 3.2・関数列と一様収束
  - 縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性
    微分積分学の基本定理（第二部・ニュートン–ライプニッツの公式）✓定理 5.4・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
    微分積分学の基本定理（第一部）✓定理 5.2・積分の基本定理と定積分この先をたどる →
- 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
  - 初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性（上で展開済み）
  - 積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
  - Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性
    導関数の符号と単調性✓系 3.4・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
- 最大解の存在と一意性✓定理 6.2・常微分方程式の初等解法

これを使っている定理証明で参照している 4 件

ニュートン極限✓定理 5.1・Einstein 方程式
Schwarzschild 時空の測地線✓命題 4.1・Schwarzschild 解と太陽系での検証
局所慣性座標では特殊相対論が回復する✓命題 4.5・曲がった時空のテンソル解析
測地線の変分原理✓定理 5.3・曲がった時空のテンソル解析

測地線方程式の性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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