曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる

0. この記事の要点

自由落下するエレベーターの中では、物は床に落ちずに浮かんで見えます。重力は、座標の取り方しだいで消して見せることができるのです。それでも、離れた場所の落下する物体どうしの間隔が変わる（潮汐力）ことは消せません。この記事は、その「消せる部分」と「消せない部分」を、座標によらない言葉で区別する道具を作ります。読み終えると、重力を時空の幾何として書く基本の式（測地線の方程式と曲率）を、自分で導けるようになります。

• 等価原理が教えるのは「時空は各点の近くでは平坦なミンコフスキー時空と区別できないが、全体としては曲がっている」ということです。この構造の数学は、Lorentz 計量を備えた 4 次元多様体です。
• 計量 $g_{\mu\nu}$ からLevi-Civita 接続（Christoffel 記号）がただ 1 つ決まります。これにより、座標変換で形が壊れない微分である共変微分が定義できます（定理 3.4）。
• 任意の点で $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$ かつ $\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\nu}=0$ となる座標が取れます（定理 4.1）。これが「局所慣性系の存在」、すなわち等価原理の数学的な言い換えです。
• 自由落下する粒子の世界線は測地線で、固有時を停留にする曲線と一致します（定理 5.3）。計量が時間方向に依らなければ、エネルギーが保存されます。
• 座標では消せない部分がリーマン曲率テンソルで、2 本の共変微分の非可換性として現れます（命題 6.2）。隣り合う自由落下粒子の相対加速度は曲率で決まります（定理 7.1）。これが潮汐力の正体です。

この記事で使う事前知識

• アインシュタインの等価原理: 十分小さく自由落下する実験室の中では、重力が消えて特殊相対論が成り立つ、という原理。→ アインシュタインの等価原理
• 局所慣性系: 自由落下する小さな実験室に固定した座標系のこと。→ 局所慣性系
• 接ベクトル: 曲線の各点での速度ベクトルのように、多様体の点における方向と大きさを表すもの。→ 接ベクトル
• 余接空間: 接ベクトルを入力として実数を返す線形写像（1 形式）全体のなす空間。→ 余接空間
• 固有時: 粒子とともに動く時計が刻む時間。→ 固有時
• 循環座標: ラグランジアンに現れない座標。これに対応する量が保存されます。→ 循環座標

1. 動機：このテーマの見通し

一般相対性理論への招待では、等価原理から重力赤方偏移と光の曲がりが出ること、そして潮汐力が座標変換では消せないことを見ました（潮汐加速度（命題 4.1）［一般相対性理論への招待］）。曲がった時空と重力では、計量・測地線・アインシュタイン方程式・シュヴァルツシルト解・重力波の結果を、証明の一部を文献に譲りながら一通り眺めました。

このテーマ「一般相対性理論」は、その各結果を証明つきで組み立て直します。章の流れは次のとおりです。

章	内容	使う道具
1. 本章	計量、共変微分、測地線、曲率、測地線偏差	多様体上のテンソル解析
2. Einstein 方程式	ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力	変分法、本章の曲率
3. Schwarzschild 解	バーコフの定理、水星の近日点移動、光の偏向、赤方偏移	本章の測地線、第 2 章の方程式
4. ブラックホール	地平面の延長と因果構造	第 3 章の解
5. 重力波	線形化方程式、TT ゲージ、四重極公式	第 2 章の線形化重力
6. 宇宙論	一様等方宇宙、フリードマン方程式	第 2 章の方程式

本章はそのすべての土台です。数学としては、多様体の接空間と余接空間（接空間、微分形式）を既知とし、そこからテンソル場と接続を順に導入します。物理としては、等価原理を認めたうえで「重力を座標の選び方ではなく幾何として扱う」ための辞書を作ります。

記号の規約は既存の記事にそろえます。時空座標は $x^\mu=(x^0,x^1,x^2,x^3)$、$x^0=ct$、計量の符号は $(-,+,+,+)$、$\eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ です（相対論的力学や量子力学 II の相対論の章は粒子物理の流儀 $(+,-,-,-)$ を採っているので、読み比べるときは $\eta$ の符号と、添字を下げたときの符号に注意してください。本テーマは一貫して $(-,+,+,+)$ です）。同じ添字が上下に現れたら $0$ から $3$ まで和をとります。

2. 準備：多様体上のテンソルと計量

$M$ を $C^\infty$ 級の $n$ 次元多様体（物理では $n=4$）とします。点 $p\in M$ の接空間 $T_pM$ と余接空間 $T^*_pM$ は 接空間の基底（定理 5.4）［接ベクトル空間と接バンドル］ と 余接空間（定義 4.1）［ベクトル場と微分形式］ で定義されており、座標 $x^\mu$ に対して $\partial_\mu=\partial/\partial x^\mu$ と $dx^\mu$ は互いに双対な基底です（命題 4.2［ベクトル場と微分形式］）。

定義 2.1（テンソル）↗

点 $p\in M$ における型 $(r,s)$ のテンソルとは、多重線形写像

$$T\colon\ \underbrace{T^*_pM\times\cdots\times T^*_pM}_{r\text{ 個}}\times\underbrace{T_pM\times\cdots\times T_pM}_{s\text{ 個}}\to\mathbb{R}$$

のことである。座標 $x^\mu$ に関する成分を

$$T^{\mu_1\cdots\mu_r}{}_{\nu_1\cdots\nu_s}=T\bigl(dx^{\mu_1},\ldots,dx^{\mu_r},\partial_{\nu_1},\ldots,\partial_{\nu_s}\bigr)$$

で定める。各点にテンソルを割り当て、成分が滑らかであるものをテンソル場という。型 $(1,0)$ はベクトル、型 $(0,1)$ は余ベクトル（1 形式）である。

座標を $x^\mu$ から $x'^{\mu'}$ に取り替えたとき、成分がどう変わるかが以後の議論の出発点です。

命題 2.2（テンソルの変換則）✓

型 $(r,s)$ のテンソル $T$ の成分は、座標変換 $x\mapsto x'$ のもとで

$$T'^{\mu'_1\cdots\mu'_r}{}_{\nu'_1\cdots\nu'_s} =\frac{\partial x'^{\mu'_1}}{\partial x^{\mu_1}}\cdots\frac{\partial x'^{\mu'_r}}{\partial x^{\mu_r}}\; \frac{\partial x^{\nu_1}}{\partial x'^{\nu'_1}}\cdots\frac{\partial x^{\nu_s}}{\partial x'^{\nu'_s}}\; T^{\mu_1\cdots\mu_r}{}_{\nu_1\cdots\nu_s}$$

と変換する。逆に、各座標系に成分の組が与えられ、座標変換でこの規則に従うなら、それは 1 つのテンソルを定める。

証明（命題 2.2）

基底の変換は 共変と反変（命題 4.3）［ベクトル場と微分形式］ のとおり、連鎖律から

$$\partial'_{\nu'}=\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x'^{\nu'}}\,\partial_{\nu},\qquad dx'^{\mu'}=\frac{\partial x'^{\mu'}}{\partial x^{\mu}}\,dx^{\mu}$$

です。定義の $T(dx'^{\mu'_1},\ldots,\partial'_{\nu'_1},\ldots)$ に代入し、$T$ の多重線形性を使って係数を外に出せば、右辺の積が得られます。

逆については、各座標系の成分の組から多重線形写像 $T(\omega_1,\ldots,X_1,\ldots)=T^{\mu_1\cdots}{}_{\nu_1\cdots}\,\omega_{1\mu_1}\cdots X_1^{\nu_1}\cdots$ を作ります。変換則を仮定すると、別の座標系の成分から作った写像も同じ写像になります（和の中で偏微分の積が互いに逆行列として消えるため）。よって座標によらない 1 つの多重線形写像が定まります。

∎

実用上は、次の「商法則」が使い勝手のよい判定法です。成分の組 $A_{\mu\nu}$ が、任意のベクトル $V,W$ について $A_{\mu\nu}V^\mu W^\nu$ を座標によらない量として与えるなら、$A_{\mu\nu}$ は型 $(0,2)$ のテンソルです（定義の多重線形写像を $A(V,W)=A_{\mu\nu}V^\mu W^\nu$ と置くだけです）。この判定は 命題 6.2 で曲率がテンソルであることを示すときに使います。

テンソルどうしの積、縮約（上下の添字を 1 組つないで和をとる）、添字の入れ替えと対称化は、成分の変換則から再びテンソルになることがすぐわかります。

定義 2.3（Lorentz 計量と時空）↗

多様体 $M$ 上の型 $(0,2)$ のテンソル場 $g$ が次を満たすとき、Lorentz 計量という。

1. $g$ は対称である：$g(X,Y)=g(Y,X)$。成分で $g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$。
2. 各点 $p$ で、$T_pM$ の基底 $e_0,e_1,e_2,e_3$ が存在して $g(e_a,e_b)=\eta_{ab}$ となる（符号 $(-,+,+,+)$、とくに非退化）。

組 $(M,g)$（$M$ は 4 次元、連結、ハウスドルフ）を時空という。$v\in T_pM$ は、$g(v,v)<0$ のとき時間的、$g(v,v)=0$（$v\ne0$）のときヌル、$g(v,v)>0$ のとき空間的という。線素は $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ と書く。

これは 計量と線素（定義 2.1）［曲がった時空と重力］ の厳密な言い直しです。2 の条件は、各点の接空間がミンコフスキー空間 $\mathbb{R}^{1,3}$ と同型であるという、等価原理の「各点で特殊相対論が成り立つ」の内容を表しています。

命題 2.4（逆計量と添字の上げ下げ）✓

$g_{\mu\nu}$ は各点で正則行列だから、逆行列 $g^{\mu\nu}$（$g^{\mu\lambda}g_{\lambda\nu}=\delta^\mu_\nu$）が存在し、$g^{\mu\nu}$ は型 $(2,0)$ のテンソル場である。したがってテンソルの添字は $g_{\mu\nu}$ で下げ、$g^{\mu\nu}$ で上げられる（例：$V_\mu=g_{\mu\nu}V^\nu$）。

証明（命題 2.4）

正則性は 定義 2.3 の 2 から従います。$g_{\mu\nu}=P^{\mathsf{T}}\eta P$（$P$ は基底変換の行列）と書けて、$\det g_{\mu\nu}=-(\det P)^2<0$ だからです。テンソル性は、命題 2.2 から $g'_{\mu'\nu'}=\frac{\partial x^\mu}{\partial x'^{\mu'}}\frac{\partial x^\nu}{\partial x'^{\nu'}}g_{\mu\nu}$ が成り立つので、行列として $g'=J^{\mathsf{T}}gJ$（$J=\partial x/\partial x'$）。両辺の逆行列をとると $g'^{-1}=J^{-1}g^{-1}J^{-\mathsf{T}}$ となり、これは型 $(2,0)$ の変換則です。

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例 2.5（平坦な平面の極座標）

ユークリッド平面 $\mathbb{R}^2$ の計量 $ds^2=dx^2+dy^2$ は、極座標 $(r,\varphi)$ では $ds^2=dr^2+r^2d\varphi^2$、すなわち $g_{rr}=1$、$g_{\varphi\varphi}=r^2$ です。成分が座標に依存して変わっても、同じ幾何学的な対象を表しているのがテンソルの意味です。以下、この例を平坦な空間での確認用に使い、曲がった例としては半径 $1$ の球面 $S^2$（$ds^2=d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2$）を使います。

3. 共変微分と Levi-Civita 接続

ベクトル場 $V^\mu(x)$ の偏微分 $\partial_\mu V^\nu$ は、一般の座標変換のもとでテンソルとして変換しません。実際、$V'^{\nu'}=\frac{\partial x'^{\nu'}}{\partial x^{\nu}}V^\nu$ を $x'^{\mu'}$ で微分すると、連鎖律と積の微分から

$$\frac{\partial V'^{\nu'}}{\partial x'^{\mu'}} =\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\mu'}}\frac{\partial x'^{\nu'}}{\partial x^{\nu}}\,\partial_\mu V^\nu +\frac{\partial x^{\mu}}{\partial x'^{\mu'}}\frac{\partial^2 x'^{\nu'}}{\partial x^{\mu}\partial x^{\nu}}\,V^\nu$$

です。第 2 項が余計で、座標変換が非線形であるかぎり消えません。たとえば平面上の定ベクトル場 $V=\partial_x$ は、極座標では成分が $V^r=\cos\varphi$、$V^\varphi=-\sin\varphi/r$ となり、$\partial_\varphi V^r=-\sin\varphi\neq 0$ です。「どこでも同じ向き」という幾何学的な事実が、成分の偏微分には現れません。

曲がった時空で「ベクトル場の変化率」を定義するには、座標によらない微分が必要です。これを公理で定めます。偏微分に付いていた余計な項を打ち消すように、微分らしい性質（線形性とライプニッツ則）だけを取り出して、微分の一般形を決めるのがねらいです。最後の「縮約との可換性」は、ベクトルと余ベクトルから作る関数に対しても、ふつうの積の微分の規則が成り立つようにするための条件です。

定義 3.1（接続（共変微分））↗

滑らかなベクトル場 $X,Y$ に対してベクトル場 $\nabla_XY$ を対応させる規則 $\nabla$ が次を満たすとき、接続（アフィン接続）という。

1. $\nabla_{fX+hZ}Y=f\nabla_XY+h\nabla_ZY$（$f,h$ は滑らかな関数）。
2. $\nabla_X(Y+Z)=\nabla_XY+\nabla_XZ$、かつ $\nabla_X(fY)=X(f)\,Y+f\,\nabla_XY$（ライプニッツ則）。

関数には $\nabla_Xf=X(f)$ と定める。さらに $\nabla_X$ をテンソル場へ、積に対するライプニッツ則 $\nabla_X(S\otimes T)=\nabla_XS\otimes T+S\otimes\nabla_XT$ と、縮約との可換性 $\nabla_X(\mathrm{C}\,T)=\mathrm{C}(\nabla_XT)$ を課して拡張する。

接続は一般には無数にあります。計量があると、2 つの自然な条件で 1 つに決まります。

定義 3.2（ねじれなしと計量適合）↗

接続 $\nabla$ が次を満たすとき、それぞれねじれなし、計量と適合するという。

• ねじれなし：$\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$。ここで $[X,Y]$ は Lie 括弧（定義 2.1）［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］（成分 $[X,Y]^\mu=X^\nu\partial_\nu Y^\mu-Y^\nu\partial_\nu X^\mu$）。
• 計量適合：$\nabla_Xg=0$。すなわち $X\bigl(g(Y,Z)\bigr)=g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ)$。

座標基底に対し $\nabla_{\partial_\mu}\partial_\nu=\Gamma^{\lambda}{}_{\mu\nu}\partial_\lambda$ と置いたとき、$\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}$ を接続係数といいます。また $\Gamma_{\lambda,\mu\nu}:=g_{\lambda\sigma}\Gamma^\sigma{}_{\mu\nu}$ と書きます。

命題 3.3（接続の成分表示）✓

座標系で次が成り立つ。

1. ベクトル場について $\nabla_\mu V^\lambda=\partial_\mu V^\lambda+\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}V^\nu$。すなわち $\nabla_XY=X^\mu(\partial_\mu Y^\lambda+\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}Y^\nu)\partial_\lambda$。
2. 余ベクトル場について $\nabla_\mu\omega_\nu=\partial_\mu\omega_\nu-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\omega_\lambda$。一般のテンソルでは、上付き添字 1 個につき $+\Gamma$ の項、下付き添字 1 個につき $-\Gamma$ の項が付く（例：$\nabla_\mu T^{\alpha}{}_{\beta}=\partial_\mu T^{\alpha}{}_{\beta}+\Gamma^\alpha{}_{\mu\lambda}T^\lambda{}_\beta-\Gamma^\lambda{}_{\mu\beta}T^\alpha{}_\lambda$）。
3. ねじれなしであることは $\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}=\Gamma^\lambda{}_{\nu\mu}$ と同値である。
4. 計量適合であることは $\partial_\mu g_{\nu\lambda}=\Gamma_{\lambda,\mu\nu}+\Gamma_{\nu,\mu\lambda}$ と同値である。

証明（命題 3.3）

1. 定義 3.1 の公理 1 により $\nabla_XY=X^\mu\nabla_{\partial_\mu}Y$、公理 2 のライプニッツ則により $\nabla_{\partial_\mu}(Y^\nu\partial_\nu)=(\partial_\mu Y^\nu)\partial_\nu+Y^\nu\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\partial_\lambda$ です。
2. 縮約との可換性から $X(\omega_\nu V^\nu)=(\nabla_X\omega)(V)+\omega(\nabla_XV)$ です。左辺は $X^\mu(\partial_\mu\omega_\nu V^\nu+\omega_\nu\partial_\mu V^\nu)$、右辺の第 2 項は 1 により $\omega_\lambda X^\mu(\partial_\mu V^\lambda+\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}V^\nu)$ です。$V$ と $X$ が任意であることから $(\nabla_\mu\omega)_\nu=\partial_\mu\omega_\nu-\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}\omega_\lambda$ を得ます。一般のテンソルは、ライプニッツ則で $T^{\alpha}{}_{\beta}$ を $V^\alpha\omega_\beta$ の和に分解して同様に計算できます。
3. 座標基底の括弧は $[\partial_\mu,\partial_\nu]=0$ だから、$\nabla_{\partial_\mu}\partial_\nu-\nabla_{\partial_\nu}\partial_\mu=0$ が条件です。左辺は $(\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}-\Gamma^\lambda{}_{\nu\mu})\partial_\lambda$ です。ベクトル場の組 $X,Y$ が一般の場合は、公理 1・2 により座標基底の場合に帰着します。
4. 座標基底について計量適合の式を書けば $\partial_\mu g_{\nu\lambda}=g(\nabla_\mu\partial_\nu,\partial_\lambda)+g(\partial_\nu,\nabla_\mu\partial_\lambda)=\Gamma_{\lambda,\mu\nu}+\Gamma_{\nu,\mu\lambda}$ です。一般の $Y,Z$ は公理により基底の場合に帰着します。

∎

$\nabla_\mu T$ の成分は、型が 1 つ増えたテンソルです。$X$ について $C^\infty$ 線形なので、$X^\mu$ との縮約がテンソル（ベクトルなど）になり、商法則が使えるからです。

定理 3.4（Levi-Civita 接続の存在と一意性）✓

時空 $(M,g)$ には、ねじれなしかつ計量適合な接続がただ 1 つ存在する。それを Levi-Civita 接続といい、座標系での接続係数は

$$\Gamma^{\sigma}{}_{\mu\nu}=\frac12\,g^{\sigma\lambda}\bigl(\partial_\mu g_{\nu\lambda}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}\bigr)$$

で与えられる。これを Christoffel 記号という。

証明の方針です。一意性は、計量適合の条件から出る添字を巡回させた 3 本の式を、ねじれなしの対称性を使って足し引きし、接続係数を計量の微分だけで書き表すことで示します。存在は、その式で接続係数を定義し、2 つの条件を実際に満たすことを確かめます。

証明（定理 3.4）

一意性。 座標系を 1 つ取り、接続がねじれなしで計量適合だとします。命題 3.3 の 4 に添字を巡回させたものを 3 本書きます。

$$\begin{aligned} \partial_\mu g_{\nu\lambda}&=\Gamma_{\lambda,\mu\nu}+\Gamma_{\nu,\mu\lambda},\\ \partial_\nu g_{\lambda\mu}&=\Gamma_{\mu,\nu\lambda}+\Gamma_{\lambda,\nu\mu},\\ \partial_\lambda g_{\mu\nu}&=\Gamma_{\nu,\lambda\mu}+\Gamma_{\mu,\lambda\nu}. \end{aligned}$$

最初の 2 本を足して 3 本目を引きます。$\Gamma_{\lambda,\mu\nu}$ は下の 2 添字について対称（ねじれなし）なので、$\Gamma_{\nu,\mu\lambda}$ と $\Gamma_{\nu,\lambda\mu}$、$\Gamma_{\mu,\nu\lambda}$ と $\Gamma_{\mu,\lambda\nu}$ が打ち消し合い、$\Gamma_{\lambda,\nu\mu}=\Gamma_{\lambda,\mu\nu}$ から

$$\partial_\mu g_{\nu\lambda}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}=2\,\Gamma_{\lambda,\mu\nu}$$

が残ります。$g^{\sigma\lambda}$ を掛ければ主張の式です。よって接続係数は計量で決まり、命題 3.3 の 1 より接続そのものが決まります。この議論は任意の開集合上で成り立つので、開集合上で定義された 2 つの条件を満たす接続は一致します。

存在。 各座標近傍の上で、主張の式で $\Gamma$ を定め、命題 3.3 の 1 の式で $\nabla$ を定義します。公理 1・2 はその形から明らかです。$\Gamma$ は下の 2 添字に対称なのでねじれなしです。計量適合は同じ命題の 4 の成立と同値であり、実際 $\Gamma_{\lambda,\mu\nu}=\frac12(\partial_\mu g_{\nu\lambda}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu})$ から

$$\Gamma_{\lambda,\mu\nu}+\Gamma_{\nu,\mu\lambda} =\tfrac12(\partial_\mu g_{\nu\lambda}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}) +\tfrac12(\partial_\mu g_{\lambda\nu}+\partial_\lambda g_{\nu\mu}-\partial_\nu g_{\mu\lambda}) =\partial_\mu g_{\nu\lambda}$$

です。2 つの座標近傍が重なる部分では、それぞれが定める接続が同じ 2 条件を満たすので、一意性により一致します。したがって近傍ごとの接続が貼り合わさり、時空全体の接続になります。

∎

これは 測地線の定義（定義 2.3）［曲がった時空と重力］ に現れた Christoffel 記号と同じものです。以後 $\nabla$ といえば Levi-Civita 接続を指します。計量適合の式 $\nabla_\mu g_{\nu\lambda}=0$ により、共変微分は添字の上げ下げと交換します（$\nabla_\mu(g_{\nu\lambda}V^\lambda)=g_{\nu\lambda}\nabla_\mu V^\lambda$）。

例 3.5（極座標の Christoffel 記号と定ベクトル場）

$g_{rr}=1$、$g_{\varphi\varphi}=r^2$ から、$\Gamma^{r}{}_{\varphi\varphi}=-\tfrac12\partial_r g_{\varphi\varphi}=-r$、$\Gamma^{\varphi}{}_{r\varphi}=\tfrac12 g^{\varphi\varphi}\partial_r g_{\varphi\varphi}=1/r$ が得られ、他は $0$ です。定ベクトル場 $V^r=\cos\varphi$、$V^\varphi=-\sin\varphi/r$ に対して

$$\nabla_\varphi V^r=\partial_\varphi V^r+\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}V^\varphi=-\sin\varphi+(-r)\Bigl(-\frac{\sin\varphi}{r}\Bigr)=0,$$$$\nabla_\varphi V^\varphi=\partial_\varphi V^\varphi+\Gamma^\varphi{}_{\varphi r}V^r=-\frac{\cos\varphi}{r}+\frac{1}{r}\cos\varphi=0$$

です。$\nabla_rV^\mu$ も同様に $0$ になります。座標成分は変化していても、共変微分は「変化していない」ことを正しく報告します。

例 3.6（球面 $S^2$ の Christoffel 記号）

$g_{\theta\theta}=1$、$g_{\varphi\varphi}=\sin^2\theta$ から $\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\sin\theta\cos\theta$、$\Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=\cot\theta$ が得られ、他は $0$ です（計算は上の例と同じ形で、$\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}=-\tfrac12\partial_\theta g_{\varphi\varphi}$、$\Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}=\tfrac12 g^{\varphi\varphi}\partial_\theta g_{\varphi\varphi}$）。

4. 局所慣性系：等価原理の定式化

Christoffel 記号は、座標の取り方を変えれば値が変わります。実は、1 点でならいつでも $0$ にできます。

定理 4.1（局所慣性座標の存在）✓

時空 $(M,g)$ の任意の点 $p$ に対し、$p$ のまわりの座標 $y^\mu$ で

$$y^\mu(p)=0,\qquad g_{\mu\nu}(p)=\eta_{\mu\nu},\qquad \partial_\lambda g_{\mu\nu}(p)=0$$

を満たすものが存在する。とくに $\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}(p)=0$ である。

証明の方針です。まず線形変換で、1 点での計量を $\eta$ にそろえます。次に、座標の 2 次の項を付け加えて取り替えます。この 2 次の項は、1 点での接続係数をちょうど打ち消すように選んだもので、これで 1 点では計量の 1 階微分も $0$ になります。

証明（定理 4.1）

手順 1（$g(p)=\eta$）。 $p$ のまわりの任意の座標 $x^\mu$ を $x^\mu(p)=0$ となるよう平行移動します。定義 2.3 の 2 により $T_pM$ に $g(e_a,e_b)=\eta_{ab}$ を満たす基底 $e_a$ が取れます。これを $\partial/\partial x^\mu|_p$ に写す線形変換で $x$ を取り替えれば、$g_{\mu\nu}(0)=\eta_{\mu\nu}$ としてよいことになります。

手順 2（$\Gamma(p)=0$）。 この座標での $\Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}(0)$ を $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ と略し、

$$x^\mu=y^\mu-\tfrac12\,\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\,y^\alpha y^\beta$$

によって新しい座標 $y$ を定めます。原点での偏微分行列は単位行列なので、逆関数定理（定理 4.1）［逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値］ により原点の近傍で $y$ は座標になります。新しい座標での計量は、命題 2.2 より

$$g^{(y)}_{ab}(y)=\frac{\partial x^\mu}{\partial y^a}\frac{\partial x^\nu}{\partial y^b}\,g_{\mu\nu}\bigl(x(y)\bigr),\qquad \frac{\partial x^\mu}{\partial y^a}=\delta^\mu_a-\Gamma^\mu_{a\beta}\,y^\beta .$$

$y$ の 1 次までで展開すると、$x^\lambda=y^\lambda+O(y^2)$ に注意して

$$g^{(y)}_{ab}(y)=\eta_{ab}+y^\lambda\Bigl(\partial_\lambda g_{ab}(0)-\Gamma^\mu_{a\lambda}\eta_{\mu b}-\Gamma^\nu_{b\lambda}\eta_{a\nu}\Bigr)+O(y^2) =\eta_{ab}+y^\lambda\bigl(\partial_\lambda g_{ab}-\Gamma_{b,a\lambda}-\Gamma_{a,b\lambda}\bigr)+O(y^2).$$

命題 3.3 の 4 を $(\mu,\nu,\lambda)\to(\lambda,a,b)$ と読むと $\partial_\lambda g_{ab}=\Gamma_{b,\lambda a}+\Gamma_{a,\lambda b}$ であり、$\Gamma$ は下の 2 添字に対称だから括弧の中は $0$ です。よって $\partial_\lambda g^{(y)}_{ab}(0)=0$ が成り立ちます。最後に、定理 3.4 の式から $\Gamma(p)=0$ が従います。

∎

この座標を $p$ における局所慣性座標（リーマンの法線座標でもよい）といいます。$p$ では $\nabla_\mu V^\nu=\partial_\mu V^\nu$ となり、後で見るように測地線方程式は $d^2y^\mu/d\tau^2=0$ になります。ここから一般に有効な方針が得られます。

補題 4.2（テンソル等式は 1 つの座標系で確かめれば足りる）✓

$T,S$ を点 $p$ の近傍で定義された同じ型 $(r,s)$ のテンソル場とする。

1. ある座標系で $p$ における $T$ と $S$ の成分がすべて一致すれば、どの座標系でも $p$ における成分は一致する（$T(p)=S(p)$）。
2. とくに $p$ の局所慣性座標（定理 4.1）では、任意のテンソル場 $T$ について $p$ における $\nabla_\mu T$ の成分は偏微分 $\partial_\mu T$ の成分に等しい。

この補題は 2 つのことを述べています。1 は「テンソルは、ある座標で成分がすべて $0$ なら、どの座標でも $0$」という事実です。2 は、局所慣性座標では共変微分が偏微分と同じ値になるという事実です。2 つを合わせると、1 点で成り立つテンソルの等式を、局所慣性座標の簡単な計算で示せるようになります。

証明（補題 4.2）

1. 差 $D=T-S$ は型 $(r,s)$ のテンソルで、その成分は 命題 2.2 の変換則に従います。変換則の右辺は、$p$ での Jacobi 行列の成分を係数とする、元の座標での成分 $D^{\mu_1\cdots\mu_r}{}_{\nu_1\cdots\nu_s}(p)$ の 1 次式（定数項なし）です。よって 1 つの座標系で $D$ の成分が $p$ ですべて $0$ なら、どの座標系でも $p$ ですべて $0$ です。

2. 命題 3.3 の 2 により、$\nabla_\mu T$ の成分は $\partial_\mu T$ の成分に、$\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}$ と $T$ の成分の積の項を足したものです。局所慣性座標では $\Gamma^\lambda{}_{\mu\nu}(p)=0$（定理 4.1）なので、$p$ ではその項がすべて $0$ になります。

∎

注意 4.3（テンソル方程式の確認は局所慣性座標で足りる）

補題 4.2 により、1 点 $p$ で成り立つテンソル等式を示すには、両辺がテンソルであることを確かめたうえで、$p$ の局所慣性座標で示せば足ります。そこでは $\Gamma(p)=0$ なので、共変微分が偏微分に置き換わって計算が大幅に簡単になります。曲率の対称性（定理 6.3）などの証明で使います。

公理 4.4（等価原理の幾何学的定式化）↗

次の 3 つを時空の構造に関する仮定とする。

1. 時空は Lorentz 計量を備えた 4 次元多様体 $(M,g)$ である。
2. 質量をもつ試験粒子（重力以外の力を受けない）の世界線は $g$ の時間的測地線であり、光の世界線はヌル測地線である。
3. 重力以外の物理法則は、特殊相対論の法則をテンソル方程式で書き、$\eta_{\mu\nu}\to g_{\mu\nu}$、$\partial_\mu\to\nabla_\mu$ と置き換えたものである（最小結合）。

命題 4.5（局所慣性座標では特殊相対論が回復する）✓

公理 4.4 のもとで、任意の点 $p$ の局所慣性座標（定理 4.1）では、$p$ において公準 3 の法則は特殊相対論の法則と、計量の 1 階微分までの範囲で一致する。

証明（命題 4.5）

定理 4.1 の座標では $p$ で $g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$、$\Gamma=0$ です。よって $p$ で $\nabla_\mu=\partial_\mu$（命題 3.3）であり、公準 3 の置き換えで得た方程式は $p$ で元の特殊相対論の方程式と同じ形になります。測地線方程式（命題 5.2）も $p$ で $d^2y^\mu/d\tau^2=0$ となり、慣性運動です。

∎

命題 4.5 は、アインシュタインの等価原理（定義 3.3）［一般相対性理論への招待］ が主張した「自由落下する十分小さな実験室の中では、重力は消えて特殊相対論が成り立つ」という内容の、数学的な言い換えです。局所慣性系（定義 3.4）［一般相対性理論への招待］ が、ここで作った座標に対応します。「十分小さく」の部分は、$\Gamma(p)=0$ にできても $\Gamma$ の微分までは消せない、という形で現れます（§6）。

注意 4.6（最小結合の曖昧さ）

公準 3 は一意ではありません。たとえば $\nabla_\mu\nabla_\nu V^\mu$ と $\nabla_\nu\nabla_\mu V^\mu$ は特殊相対論では等しいですが、曲がった時空では曲率の分だけ異なります（命題 6.2）。どちらの書き換えを採るかで、曲率に比例する項が余分に付くかどうかが変わります。このため公準 3 は「曲率項を含まない最も簡単な形を採る」という指針として使われ、最終的な判断は実験が下します。

5. 測地線

自由落下する粒子の世界線を決める方程式を、共変微分で書きます。曲線 $x^\mu(\lambda)$ の接ベクトルを $u^\mu=dx^\mu/d\lambda$ とし、曲線に沿ったベクトル場 $V^\mu(\lambda)$ に対して

$$\frac{DV^\mu}{d\lambda}:=\frac{dV^\mu}{d\lambda}+\Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}\,u^\alpha V^\beta$$

と定めます。$V$ が時空全体のベクトル場の制限なら、これは $u^\alpha\nabla_\alpha V^\mu$ です。

定義 5.1（測地線）↗

曲線 $x^\mu(\lambda)$ が $Du^\mu/d\lambda=0$ を満たすとき、測地線といい、$\lambda$ をアフィンパラメータという。つまり接ベクトルが自分自身に沿って平行移動される曲線である。

命題 5.2（測地線方程式の性質）✓

1. 測地線は

$$\frac{d^2x^\mu}{d\lambda^2}+\Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\lambda}\frac{dx^\beta}{d\lambda}=0$$

を満たす。 2. 曲線に沿った 2 つのベクトル場 $V,W$ に対し $\dfrac{d}{d\lambda}g(V,W)=g\!\left(\dfrac{DV}{d\lambda},W\right)+g\!\left(V,\dfrac{DW}{d\lambda}\right)$。 3. 測地線に沿って $g(u,u)$ は定数である。したがって時間的・ヌル・空間的の別は測地線全体で変わらない。 4. 点 $p$ と $v\in T_pM$ を与えると、$x(0)=p$、$u(0)=v$ を満たす測地線が、開区間上の最大のものとしてただ 1 つ存在する。

証明（命題 5.2）

1 は定義の書き下しです。

2. 左辺を展開すると $\partial_\alpha g_{\mu\nu}\,u^\alpha V^\mu W^\nu+g_{\mu\nu}\dot V^\mu W^\nu+g_{\mu\nu}V^\mu\dot W^\nu$ です。右辺は $g_{\mu\nu}(\dot V^\mu+\Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}u^\alpha V^\beta)W^\nu+g_{\mu\nu}V^\mu(\dot W^\nu+\Gamma^\nu{}_{\alpha\beta}u^\alpha W^\beta)$ なので、差は $u^\alpha V^\mu W^\nu(\partial_\alpha g_{\mu\nu}-\Gamma_{\nu,\alpha\mu}-\Gamma_{\mu,\alpha\nu})$ となり、命題 3.3 の 4 により $0$ です。

3. 2 で $V=W=u$ とすると $\frac{d}{d\lambda}g(u,u)=2g(Du/d\lambda,u)=0$ です。

4. 1 は $(x^\mu,u^\mu)$ についての 1 階連立系 $\dot x^\mu=u^\mu$、$\dot u^\mu=-\Gamma^\mu{}_{\alpha\beta}(x)u^\alpha u^\beta$ です。右辺は滑らかなので局所 Lipschitz 連続で、最大解の存在と一意性（系 4.2）［解の存在と一意性］ により座標近傍の中では最大解がただ 1 つあります。座標近傍を取り替えても解の一意性により互いに一致するので、貼り合わせて時空全体の最大測地線が得られます。

∎

測地線は変分原理でも特徴づけられます。曲がった時空と重力（定義 2.3）［曲がった時空と重力］ では、これを定義として採用しました。

定理 5.3（測地線の変分原理）✓

端点を固定した滑らかな曲線 $x^\mu(\lambda)$（$a\le\lambda\le b$）について次が成り立つ。

1. $J[x]=\displaystyle\int_a^b\tfrac12\,g_{\mu\nu}(x)\dot x^\mu\dot x^\nu\,d\lambda$ の停留曲線は、アフィンパラメータ付きの測地線である。
2. 時間的曲線の固有時 $\ell[x]=\displaystyle\int_a^b\sqrt{-g_{\mu\nu}(x)\dot x^\mu\dot x^\nu}\,d\lambda$ の停留曲線は、アフィンパラメータ付き測地線をパラメータの付け替えで表したものである。

証明（定理 5.3）

1. $L=\tfrac12 g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$ に オイラー・ラグランジュ方程式（定理 3.4）［ラグランジュ形式の力学］ を適用します。$\partial L/\partial\dot x^\mu=g_{\mu\nu}\dot x^\nu$、$\partial L/\partial x^\mu=\tfrac12\partial_\mu g_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta$ だから

$$g_{\mu\nu}\ddot x^\nu+\partial_\alpha g_{\mu\nu}\dot x^\alpha\dot x^\nu-\tfrac12\partial_\mu g_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta=0 .$$

第 2 項は $\dot x^\alpha\dot x^\nu$ について対称化すると $\tfrac12(\partial_\alpha g_{\mu\beta}+\partial_\beta g_{\mu\alpha})\dot x^\alpha\dot x^\beta$ だから、全体は

$$g_{\mu\nu}\ddot x^\nu+\tfrac12\bigl(\partial_\alpha g_{\mu\beta}+\partial_\beta g_{\mu\alpha}-\partial_\mu g_{\alpha\beta}\bigr)\dot x^\alpha\dot x^\beta=0 .$$

$g^{\sigma\mu}$ を掛けると 定理 3.4 の式から $\ddot x^\sigma+\Gamma^\sigma{}_{\alpha\beta}\dot x^\alpha\dot x^\beta=0$ です。

2. $\ell$ は向きを保つパラメータ付け替えで値が変わらないので、停留曲線の性質もパラメータの選び方によりません。そこで固有時 $\tau$ をパラメータに選び、$-g_{\mu\nu}x'^\mu x'^\nu=1$（$'=d/d\tau$）とします。被積分関数を $\tilde L=\sqrt{-g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu}$ と置くと、このパラメータ付けで $\tilde L=1$ であり、$\partial\tilde L/\partial\dot x^\mu=-g_{\mu\nu}x'^\nu$、$\partial\tilde L/\partial x^\mu=-\tfrac12\partial_\mu g_{\alpha\beta}x'^\alpha x'^\beta$ です。オイラー・ラグランジュ方程式は両辺の符号を反転すれば 1 の方程式と同じ形になります。逆に、命題 5.2 の 3 により測地線は $g(u,u)$ が負の定数なので、定数倍のパラメータ付け替えで固有時パラメータにでき、同じ方程式を満たします。

∎

注意 5.4（時間的測地線は固有時の最大）

時間的な曲線については、測地線は固有時を最小ではなく（局所的に）最大にします。2 点を結ぶ世界線のうち、慣性運動（測地線）が最も長い固有時を刻むという、双子のパラドックスの幾何学的な言い換えです。詳しい証明は本章では扱いません。

座標が計量に陽に現れないときは、保存量が得られます。

命題 5.5（計量の対称性と保存量）✓

ある座標 $x^\kappa$ について $\partial g_{\mu\nu}/\partial x^\kappa=0$（すべての $\mu,\nu$）が成り立つなら、測地線に沿って $p_\kappa:=g_{\kappa\nu}u^\nu$ は定数である。

証明（命題 5.5）

定理 5.3 の 1 の $L$ は $x^\kappa$ を含まない（循環座標）ので、循環座標に対応する保存量（命題 6.2）［ラグランジュ形式の力学］ により $\partial L/\partial\dot x^\kappa=g_{\kappa\nu}\dot x^\nu$ は定数です。

∎

例 5.6（弱い静的な場でのエネルギー保存）

計量 $g_{00}=-(1+2\Phi/c^2)$（$\Phi$ は時間に依らない）では $x^0$ が循環座標で、$-p_0=(1+2\Phi/c^2)\,u^0=(1+2\Phi/c^2)\,c\,dt/d\tau$ が保存されます。低速では 弱場の運動（命題 3.1）［曲がった時空と重力］ の計算と同様に $d\tau/dt\simeq1+\Phi/c^2-v^2/(2c^2)$ なので、

$$-p_0\simeq c\,\frac{1+2\Phi/c^2}{1+\Phi/c^2-v^2/(2c^2)}\simeq c\Bigl(1+\frac{\Phi+v^2/2}{c^2}\Bigr)$$

です。これが定数であることは、ニュートン力学の力学的エネルギー（単位質量あたり）$v^2/2+\Phi$ の保存にほかなりません。

例 5.7（球面の測地線は大円）

$S^2$（例 3.6）の測地線方程式は

$$\ddot\theta-\sin\theta\cos\theta\,\dot\varphi^2=0,\qquad \ddot\varphi+2\cot\theta\,\dot\theta\dot\varphi=0$$

です。赤道 $\theta=\pi/2$、$\varphi=\lambda$ は両方を満たします（$\cos(\pi/2)=0$、$\dot\theta=0$）。子午線 $\varphi=\text{const}$、$\theta=\lambda$ も満たします。球面の回転対称性により、任意の大円はこれらを回転したものなので、すべて測地線です。演習 8.2 で、保存量を使って逆にすべての測地線が大円であることを確かめます。

6. 曲率

局所慣性座標で $\Gamma$ を 1 点で消せても、$\Gamma$ の微分は消せません。この「消せない残り」を測る量が曲率です。

定義 6.1（Riemann 曲率テンソル）↗

$$R^{\mu}{}_{\nu\alpha\beta}=\partial_\alpha\Gamma^\mu{}_{\nu\beta}-\partial_\beta\Gamma^\mu{}_{\nu\alpha}+\Gamma^\mu{}_{\alpha\sigma}\Gamma^\sigma{}_{\nu\beta}-\Gamma^\mu{}_{\beta\sigma}\Gamma^\sigma{}_{\nu\alpha}$$

をリーマン曲率テンソルの成分という。$R_{\mu\nu\alpha\beta}=g_{\mu\sigma}R^\sigma{}_{\nu\alpha\beta}$ と書く。

この符号と添字の並びは 曲率は潮汐力として観測される（注意 2.5）［曲がった時空と重力］ で予告したものです。テンソルであること、そして共変微分の非可換性との関係は次の命題で示します。

命題 6.2（リッチの恒等式）✓

ベクトル場 $V$ について

$$\nabla_\alpha\nabla_\beta V^\mu-\nabla_\beta\nabla_\alpha V^\mu=R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}\,V^\nu$$

が成り立つ。とくに $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}$ は型 $(1,3)$ のテンソルである。

証明の方針です。共変微分を 2 回重ねた式を展開して差をとると、$V$ の微分を含む項は互いに打ち消し合い、$V$ そのものに比例する項だけが残ります。その係数が、曲率の定義式と一致します。

証明（命題 6.2）

$\nabla_\beta V^\mu$ は型 $(1,1)$ のテンソルだから、命題 3.3 の 2 により

$$\nabla_\alpha\nabla_\beta V^\mu=\partial_\alpha(\nabla_\beta V^\mu)+\Gamma^\mu{}_{\alpha\lambda}\nabla_\beta V^\lambda-\Gamma^\lambda{}_{\alpha\beta}\nabla_\lambda V^\mu .$$

最後の項は $\alpha,\beta$ について対称（ねじれなし）なので、$\alpha\leftrightarrow\beta$ を入れ替えた式との差で消えます。残りに $\nabla_\beta V^\mu=\partial_\beta V^\mu+\Gamma^\mu{}_{\beta\nu}V^\nu$ を代入して差をとります。

$$\begin{aligned} &\partial_\alpha\Gamma^\mu{}_{\beta\nu}V^\nu-\partial_\beta\Gamma^\mu{}_{\alpha\nu}V^\nu +\Gamma^\mu{}_{\beta\nu}\partial_\alpha V^\nu-\Gamma^\mu{}_{\alpha\nu}\partial_\beta V^\nu\\ &\quad+\Gamma^\mu{}_{\alpha\lambda}\bigl(\partial_\beta V^\lambda+\Gamma^\lambda{}_{\beta\nu}V^\nu\bigr)-\Gamma^\mu{}_{\beta\lambda}\bigl(\partial_\alpha V^\lambda+\Gamma^\lambda{}_{\alpha\nu}V^\nu\bigr). \end{aligned}$$

$V$ の微分を含む項は、第 1 行の $\Gamma^\mu{}_{\beta\nu}\partial_\alpha V^\nu$ と第 2 行の $-\Gamma^\mu{}_{\beta\lambda}\partial_\alpha V^\lambda$、第 1 行の $-\Gamma^\mu{}_{\alpha\nu}\partial_\beta V^\nu$ と第 2 行の $\Gamma^\mu{}_{\alpha\lambda}\partial_\beta V^\lambda$ が打ち消し合います。残るのは $V^\nu$ に比例する項で、

$$\bigl(\partial_\alpha\Gamma^\mu{}_{\beta\nu}-\partial_\beta\Gamma^\mu{}_{\alpha\nu}+\Gamma^\mu{}_{\alpha\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\beta\nu}-\Gamma^\mu{}_{\beta\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\alpha\nu}\bigr)V^\nu$$

です。$\Gamma$ の下の添字の対称性を使えば括弧の中は 定義 6.1 そのものです。

テンソル性について。左辺は $V$ の 2 階共変微分の差で、型 $(1,2)$ のテンソルです。右辺の $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}V^\nu$ が 1 点で $V^\nu(p)$ のみに依ること、そして $V^\nu(p)$ が任意に取れることから、商法則により $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}$ はテンソルです。

∎

特に $R=0$ なら共変微分は可換で、平坦な時空に対応します。逆に $R\ne0$ なら、ベクトルを閉じた経路に沿って平行移動して元に戻したとき、ベクトルが回転します。

定理 6.3（曲率テンソルの対称性）✓

$R_{\mu\nu\alpha\beta}$ は次を満たす。

1. $R_{\mu\nu\alpha\beta}=-R_{\mu\nu\beta\alpha}$。
2. $R_{\mu\nu\alpha\beta}=-R_{\nu\mu\alpha\beta}$。
3. $R_{\mu\nu\alpha\beta}=R_{\alpha\beta\mu\nu}$。
4. （第 1 ビアンキ恒等式）$R_{\mu\nu\alpha\beta}+R_{\mu\alpha\beta\nu}+R_{\mu\beta\nu\alpha}=0$。

証明（定理 6.3）

1 は 定義 6.1 から $\alpha\leftrightarrow\beta$ で符号が変わることが明らかです。残りは両辺がテンソルなので、補題 4.2 の 1 により、点 $p$ の局所慣性座標（定理 4.1）で示せば十分です。そこでは $\Gamma(p)=0$ なので、定義 6.1 の積の項が消えて

$$R_{\mu\nu\alpha\beta}(p)=\eta_{\mu\sigma}\bigl(\partial_\alpha\Gamma^\sigma{}_{\nu\beta}-\partial_\beta\Gamma^\sigma{}_{\nu\alpha}\bigr) =\partial_\alpha\Gamma_{\mu,\nu\beta}-\partial_\beta\Gamma_{\mu,\nu\alpha}$$

です（$g=\eta$ かつ $\partial g=0$ なので、添字を下げる操作が微分と交換できます）。$\Gamma_{\mu,\nu\beta}=\tfrac12(\partial_\nu g_{\mu\beta}+\partial_\beta g_{\mu\nu}-\partial_\mu g_{\nu\beta})$ を代入すると、$\partial_\alpha\partial_\beta g_{\mu\nu}$ の項は打ち消し合い、

$$R_{\mu\nu\alpha\beta}(p)=\tfrac12\bigl(\partial_\nu\partial_\alpha g_{\mu\beta}-\partial_\nu\partial_\beta g_{\mu\alpha}-\partial_\mu\partial_\alpha g_{\nu\beta}+\partial_\mu\partial_\beta g_{\nu\alpha}\bigr)$$

を得ます。この式で $\mu\leftrightarrow\nu$ を入れ替えると 4 項がちょうど符号を変えて並び替わるので、2 が成り立ちます。$(\mu\nu)\leftrightarrow(\alpha\beta)$ を入れ替えると、各項が偏微分の順序交換で元の項に戻るので 3 が成り立ちます。4 は、$\nu,\alpha,\beta$ を巡回させた 3 つの式を足すと、各項が別の項と符号違いで打ち消し合うことから従います。たとえば $\partial_\nu\partial_\alpha g_{\mu\beta}$ は第 2 式の $-\partial_\alpha\partial_\nu g_{\mu\beta}$ と打ち消します。

∎

4 次元でこれらの対称性を満たす独立成分の数は 20 個です。$R_{\mu\nu\alpha\beta}$ を対 $(\mu\nu)$、$(\alpha\beta)$（それぞれ 6 通り）についての $6\times6$ 対称行列とみなすと 21 成分で、第 1 ビアンキ恒等式が完全反対称部分 1 個を拘束するため 20 になります。

例 6.4（球面の曲率）

$S^2$ の Christoffel 記号（例 3.6）を 定義 6.1 に入れると、

$$R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=\partial_\theta\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}-\Gamma^\theta{}_{\varphi\varphi}\Gamma^\varphi{}_{\varphi\theta} =-(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+\sin\theta\cos\theta\cot\theta=\sin^2\theta$$

です（他に寄与する項は $0$）。したがって $R_{\theta\varphi\theta\varphi}=\sin^2\theta$、$R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}=g^{\varphi\varphi}R_{\varphi\theta\varphi\theta}=1$ で、球面は至るところ曲がっています。一方、平面は $\Gamma$ が直交座標で恒等的に $0$ なので $R=0$ です。極座標の 例 3.5 で計算しても、$\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}=-r$、$\Gamma^\varphi{}_{r\varphi}=1/r$ から $R^r{}_{\varphi r\varphi}=\partial_r(-r)-\Gamma^r{}_{\varphi\varphi}\Gamma^\varphi{}_{\varphi r}=-1+1=0$ と、座標によらず $0$ になります。

7. 測地線偏差：潮汐力の幾何学

隣り合う自由落下粒子の相対運動が、曲率だけで決まることを示します。

定理 7.1（測地線偏差方程式）✓

測地線の 1 径数族 $x^\mu(\tau,s)$（各 $s$ について $\tau$ はアフィンパラメータ）を考え、$u^\mu=\partial_\tau x^\mu$、$\xi^\mu=\partial_s x^\mu$ とする。このとき

$$\frac{D^2\xi^\mu}{d\tau^2}=R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}\,u^\nu u^\alpha\xi^\beta=-R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}\,u^\nu\xi^\alpha u^\beta$$

が成り立つ。ここで $D/d\tau=u^\alpha\nabla_\alpha$ である。

証明の方針です。隣り合う測地線を結ぶベクトル $\xi$ と、測地線の接ベクトル $u$ を座標の 2 つの方向に取ると、$u$ と $\xi$ の括弧が $0$ になり、2 つの方向の微分を入れ替えられます。入れ替えるときに現れる曲率の項が右辺になり、残りの項は $u$ が測地線であることから $0$ になります。

証明（定理 7.1）

面 $(\tau,s)\mapsto x$ が埋め込みであるとき、$x^0=\tau$、$x^1=s$ を座標に含む座標系を取ります。この座標では $u=\partial_0$、$\xi=\partial_1$ なので $[u,\xi]=0$ です。定義 3.2 のねじれなしより $u^\alpha\nabla_\alpha\xi^\mu=\xi^\alpha\nabla_\alpha u^\mu$ です。以下に現れる微分はすべて面に接する方向（$u$ か $\xi$）なので、面の外の値には依りません。

左辺を計算します。上の等式を使うと

$$u^\alpha\nabla_\alpha\bigl(u^\beta\nabla_\beta\xi^\mu\bigr)=u^\alpha\nabla_\alpha\bigl(\xi^\beta\nabla_\beta u^\mu\bigr) =(u^\alpha\nabla_\alpha\xi^\beta)\nabla_\beta u^\mu+\xi^\beta u^\alpha\nabla_\alpha\nabla_\beta u^\mu .$$

第 1 項で $u^\alpha\nabla_\alpha\xi^\beta=\xi^\alpha\nabla_\alpha u^\beta$ を再び使い、第 2 項に 命題 6.2 を使って $\nabla_\alpha\nabla_\beta u^\mu=\nabla_\beta\nabla_\alpha u^\mu+R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}u^\nu$ とします。

$$u^\alpha\nabla_\alpha\bigl(u^\beta\nabla_\beta\xi^\mu\bigr) =\xi^\alpha\nabla_\alpha u^\beta\,\nabla_\beta u^\mu+\xi^\beta u^\alpha\nabla_\beta\nabla_\alpha u^\mu+R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}u^\nu u^\alpha\xi^\beta .$$

右辺の最初の 2 項は、積の微分の規則により $\xi^\beta\nabla_\beta\bigl(u^\alpha\nabla_\alpha u^\mu\bigr)$ にまとまります。面上で $u^\alpha\nabla_\alpha u^\mu=0$（定義 5.1）であり、$\xi$ は面に接するので、この項は $0$ です。したがって

$$\frac{D^2\xi^\mu}{d\tau^2}=R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}u^\nu u^\alpha\xi^\beta$$

を得ます。第 2 の形は、定理 6.3 の 1 により添字 $\alpha,\beta$ を入れ替えて符号を変えたものです。面が埋め込みでないときは、$u,\xi$ の線形従属性を使って各点で成分を分解すれば同じ式が従います（結論は $u,\xi$ について双線形です）。

∎

左辺の $\xi$ は隣り合う 2 本の測地線を結ぶベクトル（偏差ベクトル）で、右辺は曲率だけで決まります。つまり自由落下する粒子どうしの相対加速度は、時空の曲率そのものです。重力加速度そのものは座標変換で消えても、曲率が残るのはこのためです。

系 7.2（ニュートン極限では潮汐力に一致する）✓

計量が静的で弱く、$g_{00}=-(1+2\Phi/c^2)$、$g_{ij}=(1-2\Phi/c^2)\delta_{ij}$ と書けるとする。低速の粒子の近傍の粒子との同時刻での分離ベクトル $\xi^i$ は、$\Phi/c^2$ の 1 次の近似で

$$\frac{d^2\xi^i}{dt^2}=-\frac{\partial^2\Phi}{\partial x^i\partial x^j}\,\xi^j$$

を満たす。これは 潮汐加速度（命題 4.1）［一般相対性理論への招待］ の式と一致する。

証明（系 7.2）

$u^\mu\simeq(c,0,0,0)$、$\xi^0\simeq0$ としてよいので、定理 7.1 の右辺は $-R^i{}_{0j0}c^2\xi^j$ です。静的だから $\partial_0$ を含む項は $0$ で、$\Gamma\Gamma$ の積は $O(\Phi^2/c^4)$ なので落とすと $R^i{}_{0j0}\simeq\partial_j\Gamma^i{}_{00}$。弱場計量で $\Gamma^i{}_{00}=-\tfrac12 g^{ii}\partial_ig_{00}\simeq\partial_i\Phi/c^2$ だから $R^i{}_{0j0}\simeq\partial_i\partial_j\Phi/c^2$ です。左辺は $D/d\tau\simeq d/dt$（$\Gamma^i{}_{0j}=0$、$\Gamma^i{}_{00}\xi^0$ は小さい）としてよいので、主張が得られます。命題 4.1［一般相対性理論への招待］ と比べるには $\Phi=-GM/r$ とすれば、$\partial_i\partial_j\Phi=GM(\delta_{ij}/r^3-3x_ix_j/r^5)$ で、確かに同じ式です。

∎

等価原理の記事では、潮汐力が座標変換で消せないことを見て、それを「曲率」と名づけていました。本章でその名づけが正当だったことが確かめられました。

例 7.3（球面上の子午線の偏差）

$S^2$ の北極から出る 2 本の子午線 $\varphi=0$ と $\varphi=\delta\varphi$ は、どちらも測地線で $\theta=\tau$ がアフィンパラメータです。$s=\delta\varphi$ をパラメータとすると $u=\partial_\theta$、$\xi=\partial_\varphi$（$\xi^\varphi=1$）です。$\xi$ の共変微分を計算します。$D\xi^\varphi/d\tau=\Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}u^\theta\xi^\varphi=\cot\theta$、$D\xi^\theta/d\tau=\Gamma^\theta{}_{\theta\varphi}\xi^\varphi=0$ です。もう一度微分して

$$\frac{D^2\xi^\varphi}{d\tau^2}=\partial_\theta(\cot\theta)+\Gamma^\varphi{}_{\theta\varphi}u^\theta\cot\theta=-\frac{1}{\sin^2\theta}+\cot^2\theta=-1 .$$

一方、右辺は 例 6.4 の $R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}=1$ を使って $-R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}u^\theta\xi^\varphi u^\theta=-1$ で、両辺が一致します。

物理的な分離距離は $\eta=|\xi|=\sin\theta\,\delta\varphi$ です。単位ベクトル $\hat e=\partial_\varphi/\sin\theta$ は子午線に沿って平行移動される（$D\hat e/d\tau=0$、各自で確かめてください）ので、上の式は $\eta''=-\eta$ と同値で、$\eta=\delta\varphi\sin\tau$ がその解です。曲率が正（球面）なので、2 本の測地線は最初は広がり、赤道を過ぎると再び近づいて南極で交わります。

球面上の 2 本の子午線の間隔（偏差ベクトル）。北極で 0、赤道で最大になり、南極で再び 0 になる。正の曲率が測地線を引き寄せる。

8. 演習

演習 8.1易

半径 $a$ の球面 $ds^2=a^2(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2)$ について、リッチテンソル $R_{\nu\beta}=R^\alpha{}_{\nu\alpha\beta}$ とスカラー曲率 $R=g^{\nu\beta}R_{\nu\beta}$ を求めよ。

解答

Christoffel 記号 $\Gamma=\tfrac12g^{-1}\partial g$ は $g$ の定数倍で不変（$g^{-1}$ と $\partial g$ の係数 $a^2$ が打ち消す）なので、例 3.6 と同じで、したがって $R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}$ も 例 6.4 と同じです：$R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=\sin^2\theta$、$R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}=1$（添字の対称性から $R^\theta{}_{\varphi\varphi\theta}=-\sin^2\theta$ など）。

リッチテンソルは $R_{\varphi\varphi}=R^\theta{}_{\varphi\theta\varphi}=\sin^2\theta$、$R_{\theta\theta}=R^\varphi{}_{\theta\varphi\theta}=1$、他は $0$ です。計量は $g_{\theta\theta}=a^2$、$g_{\varphi\varphi}=a^2\sin^2\theta$ だから

$$R=g^{\theta\theta}R_{\theta\theta}+g^{\varphi\varphi}R_{\varphi\varphi}=\frac1{a^2}+\frac{\sin^2\theta}{a^2\sin^2\theta}=\frac{2}{a^2}$$

です。半径が小さいほど曲がりが強いことがわかります。

演習 8.2難

単位球面 $S^2$ の測地線 $(\theta(\lambda),\varphi(\lambda))$ で $\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\varphi^2=1$ を満たすものを考える。命題 5.5 を使って、$L:=\sin^2\theta\,\dot\varphi$ が保存されること、$L\neq0$ ならば $\cot\theta=A\cos(\varphi-\varphi_0)$（$A,\varphi_0$ は定数）となることを示せ。これは原点を通る平面と球面の交わり、すなわち大円である。

解答

$\varphi$ が循環座標なので、命題 5.5 より $L=g_{\varphi\varphi}\dot\varphi=\sin^2\theta\,\dot\varphi$ は定数です。$\dot\theta^2+\sin^2\theta\,\dot\varphi^2=1$ に $\dot\varphi=L/\sin^2\theta$ を代入して $\dot\theta^2=1-L^2/\sin^2\theta$ です。$L\neq0$ のとき $\dot\varphi\ne0$ で $\varphi$ を独立変数にできます。

$$\frac{d\varphi}{d\theta}=\frac{\dot\varphi}{\dot\theta}=\frac{L/\sin^2\theta}{\pm\sqrt{1-L^2/\sin^2\theta}} .$$

$w=\cot\theta$ と置くと $dw=-d\theta/\sin^2\theta$、$1/\sin^2\theta=1+w^2$ なので、$d\varphi=\mp\dfrac{L\,dw}{\sqrt{1-L^2-L^2w^2}}$ です。$1-L^2>0$ が必要で（$\dot\theta^2\ge0$ から）、$k=\sqrt{1-L^2}/L$ と置くと $d\varphi=\mp\dfrac{dw}{\sqrt{k^2-w^2}}$ です。積分して $\varphi-\varphi_0=\pm\arccos(w/k)$ すなわち $w=k\cos(\varphi-\varphi_0)$ を得ます。直交座標 $z=\cos\theta$、$x=\sin\theta\cos\varphi$、$y=\sin\theta\sin\varphi$ で書くと $z=k(x\cos\varphi_0+y\sin\varphi_0)$ で、原点を通る平面です。$L=0$ の場合は $\varphi$ が一定の子午線です。

演習 8.3標準

月が地球の位置につくる曲率の大きさ $GM_{\mathrm{moon}}/(c^2 d^3)$ を、$GM_{\mathrm{moon}}=4.903\times10^{12}\ \mathrm{m^3/s^2}$、地球月間距離 $d=3.844\times10^{8}$ m として求めよ。また、地球の直径 $2R_\oplus=1.274\times10^7$ m だけ離れた 2 点の月方向の相対加速度の大きさを、系 7.2 で見積もれ。

解答

曲率の成分の大きさは $|R^i{}_{0j0}|\sim GM/(c^2d^3)$ です。$d^3=5.680\times10^{25}\ \mathrm{m^3}$、$c^2=8.988\times10^{16}\ \mathrm{m^2/s^2}$ なので

$$\frac{GM_{\mathrm{moon}}}{c^2d^3}=\frac{4.903\times10^{12}}{8.988\times10^{16}\times5.680\times10^{25}}=9.6\times10^{-31}\ \mathrm{m^{-2}}$$

です。これは曲率半径 $\sim1/\sqrt{9.6\times10^{-31}}\simeq1\times10^{15}$ m に相当し、地球の大きさよりはるかに大きい値です。

相対加速度は 系 7.2 に $\partial_i\partial_j\Phi=GM/d^3\times\mathrm{diag}(-2,1,1)$（月方向を第 1 軸）を入れ、月方向の分離 $\xi=2R_\oplus$ について $|\delta a|=2GM\xi/d^3$ です。$GM/d^3=4.903\times10^{12}/5.680\times10^{25}=8.63\times10^{-14}\ \mathrm{s^{-2}}$ なので

$$|\delta a|=2\times8.63\times10^{-14}\times1.274\times10^7=2.2\times10^{-6}\ \mathrm{m/s^2}$$

です。地球の重力加速度 $9.8\ \mathrm{m/s^2}$ の $2\times10^{-7}$ 倍ですが、これが海を動かす力の正体です。

演習 8.4標準

余ベクトル場 $\omega_\mu$ について $\nabla_\alpha\nabla_\beta\omega_\mu-\nabla_\beta\nabla_\alpha\omega_\mu=-R^\nu{}_{\mu\alpha\beta}\,\omega_\nu$ を示せ。

解答

任意のベクトル場 $V$ に対して、スカラー場 $f=\omega_\mu V^\mu$ を考えます。スカラー場の 2 階共変微分は $\nabla_\alpha\nabla_\beta f=\partial_\alpha\partial_\beta f-\Gamma^\lambda{}_{\alpha\beta}\partial_\lambda f$ で、$\alpha,\beta$ について対称なので $[\nabla_\alpha,\nabla_\beta]f=0$ です。

一方、ライプニッツ則と縮約との可換性から

$$[\nabla_\alpha,\nabla_\beta](\omega_\mu V^\mu)=\bigl([\nabla_\alpha,\nabla_\beta]\omega_\mu\bigr)V^\mu+\omega_\mu\bigl([\nabla_\alpha,\nabla_\beta]V^\mu\bigr)$$

です。交差項 $\nabla_\beta\omega_\mu\nabla_\alpha V^\mu$ は、$\alpha\leftrightarrow\beta$ の入れ替えで打ち消し合います。左辺が $0$ なので 命題 6.2 より

$$\bigl([\nabla_\alpha,\nabla_\beta]\omega_\mu\bigr)V^\mu=-\omega_\mu R^\mu{}_{\nu\alpha\beta}V^\nu .$$

$V$ は任意だから、添字 $\mu\leftrightarrow\nu$ を読み替えて主張を得ます。

参考文献

• R. M. Wald, General Relativity, University of Chicago Press, 1984 — 第 3 章（微分幾何）、第 3.2 節（曲率）、第 4.2 節（測地線偏差の議論）。
• S. M. Carroll, Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity, Addison-Wesley, 2004 — 第 3 章（曲率）。
• C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman, 1973 — 第 8〜11 章（接続・曲率）、第 16 章（測地線偏差）。
• B. F. Schutz, A First Course in General Relativity, 2nd ed., Cambridge University Press, 2009 — 第 5〜6 章（テンソルと曲率）。
• 内山龍雄『一般相対性理論』裳華房、1978。