ねじれなしと計量適合

接続 $\nabla$ が次を満たすとき、それぞれねじれなし、計量と適合するという。

• ねじれなし：$\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y]$。ここで $[X,Y]$ は Lie 括弧（定義 2.1）［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］（成分 $[X,Y]^\mu=X^\nu\partial_\nu Y^\mu-Y^\nu\partial_\nu X^\mu$）。
• 計量適合：$\nabla_Xg=0$。すなわち $X\bigl(g(Y,Z)\bigr)=g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ)$。