一般相対性理論 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの各章（テンソル解析・Einstein 方程式・Schwarzschild 解・ブラックホール・重力波・宇宙論）を読んだ学部レベルの人。式の意味と仮定の役割を確かめたい人向けです。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• B. F. Schutz, A First Course in General Relativity
• J. B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity
• S. M. Carroll, Spacetime and Geometry
• R. M. Wald, General Relativity

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 曲がった時空のテンソル解析と測地線
• 10〜17: Einstein 方程式
• 18〜25: Schwarzschild 解と太陽系での検証
• 26〜32: ブラックホール
• 33〜38: 重力波
• 39〜50: 宇宙論

形式: 単一選択 16・複数選択 9・○× 5・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 8 / 27 / 14 / 1。

この冊で使う定義・定理（90）

• 定義 4.4 ブラックホール領域と事象の地平線 ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 27, 28 番
• 定義 8.3 Hawking 温度と Bekenstein–Hawking エントロピー ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 29, 30 番
• 例 8.5 太陽質量ブラックホールの温度とエントロピー ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 30 番
• 命題 3.1 内向き Eddington–Finkelstein 座標 ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 26, 32 番
• 命題 8.6 蒸発時間は質量の 3 乗に比例する ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 30 番
• 命題 5.1 動径方向の潮汐加速度 ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 27, 30 番
• 注意 8.2 ブラックホール力学の 4 法則 ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 28 番
• 注意 3.2 遠方から見た落下 ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 26 番
• 定理 6.1 シュヴァルツシルト・ワームホールは通り抜けられない ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 27 番
• 定理 4.1 Kruskal–Szekeres 座標と最大拡張 ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 32 番
• 定理 4.5 ブラックホール内部からは出られない ブラックホール：Kruskal 拡張・Penrose 図・Kerr 解からホーキング放射まで → 27, 32 番
• 系 3.8 真空のエネルギーは膨張を加速させる 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 41 番
• 系 4.5 膨張に中心はない 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 39 番
• 定義 3.5 状態方程式パラメータ 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 41 番
• 定義 4.1 赤方偏移 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 40 番
• 例 9.8 弾丸銀河団 1E 0657-56 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 48 番
• 例 8.10 二つのまったく違う方法が同じ答えを出す 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 48, 49 番
• 例 6.5 ダークエネルギーを忘れると宇宙は若すぎる 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 46 番
• 例 8.8 1 秒後の凍結と 3 分間の目減り 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 49 番
• 演習 11.6 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 42 番
• 補題 8.7 熱平衡での中性子と陽子の個数比 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 49 番
• 命題 3.4 宇宙が加速する条件 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 41, 50 番
• 命題 6.4 宇宙の年齢の積分表示 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 46 番
• 命題 8.2 膨張は黒体放射を黒体放射に保つ 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 44 番
• 命題 5.13 ケフェイドまでの距離 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 43, 45 番
• 命題 5.6 距離指数の公式 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 45 番
• 命題 7.6 吸収体は逃げ道にならない 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 44 番
• 命題 9.4 平坦な回転曲線が意味すること 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 48 番
• 命題 10.2 平坦性問題 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 47 番
• 命題 8.9 ヘリウム質量比は 1/4 になる 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 49 番
• 命題 10.1 地平線問題 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 47 番
• 命題 4.4 ハッブル・ルメートルの法則 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 39 番
• 命題 5.7 等級の誤差と距離の誤差 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 43 番
• 命題 5.11 視差法が届く距離 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 43 番
• 命題 9.6 ビリアル定理 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 48 番
• 注意 7.11 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 44 番
• 注意 5.15 星間減光という永遠の敵 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 45 番
• 注意 5.18 正体はまだ完全にはわかっていない 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 43 番
• 定理 7.10 夜空を明るくするエネルギーは宇宙に存在しない 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 44 番
• 定理 10.4 インフレーションの条件 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 47, 50 番
• 定理 6.6 物質とダークエネルギーからなる平坦な宇宙の年齢 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 46 番
• 定理 7.5 オルバースのパラドックス 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 44 番
• 定理 4.2 宇宙論的赤方偏移 宇宙論：FLRW 計量とフリードマン方程式から、距離梯子・宇宙の年齢・夜空の暗さ・ビッグバンの証拠・インフレーションまで → 40, 42 番
• 公理 3.1 Einstein 方程式 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 11, 13, 16 番
• 定義 3.3 塵 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 16, 17 番
• 定義 2.1 リッチテンソル・スカラー曲率・アインシュタインテンソル Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 10, 14 番
• 例 6.5 静的な物質がつくる弱い場 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 12 番
• 命題 3.2 エネルギー・運動量の保存則 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 10, 11, 17 番
• 命題 3.4 塵の運動方程式は場の方程式から出る Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 11, 17 番
• 命題 7.2 Fierz–Pauli 作用のゲージ不変性 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 15 番
• 命題 6.3 線形化されたビアンキ恒等式 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 15 番
• 命題 6.2 線形化重力のゲージ変換 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 15 番
• 注意 4.6 宇宙定数 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 11, 13 番
• 注意 5.2 結合定数が決まる仕組み Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 12 番
• 定理 2.4 縮約ビアンキ恒等式 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 10, 14 番
• 定理 5.1 ニュートン極限 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 12, 16 番
• 定理 2.3 第 2 ビアンキ恒等式 Einstein 方程式：ビアンキ恒等式、作用原理による導出、ニュートン極限、線形化重力 → 14 番
• 定義 3.3 偏極 重力波：線形化 Einstein 方程式、TT ゲージ、四重極公式から連星の放射まで → 33, 36 番
• 例 7.1 円軌道の連星 重力波：線形化 Einstein 方程式、TT ゲージ、四重極公式から連星の放射まで → 35, 37, 38 番
• 演習 8.4 重力波：線形化 Einstein 方程式、TT ゲージ、四重極公式から連星の放射まで → 37 番
• 命題 5.3 単極子・双極子の非放射 重力波：線形化 Einstein 方程式、TT ゲージ、四重極公式から連星の放射まで → 34 番
• 命題 4.1 TT ゲージでの自由粒子 重力波：線形化 Einstein 方程式、TT ゲージ、四重極公式から連星の放射まで → 36 番
• 定理 6.2 四重極放射のパワー 重力波：線形化 Einstein 方程式、TT ゲージ、四重極公式から連星の放射まで → 35, 37, 38 番
• 定理 5.2 四重極公式（波の振幅） 重力波：線形化 Einstein 方程式、TT ゲージ、四重極公式から連星の放射まで → 34, 37, 38 番
• 定理 3.2 TT ゲージ 重力波：線形化 Einstein 方程式、TT ゲージ、四重極公式から連星の放射まで → 33, 36 番
• 系 3.3 球対称な殻の内側は平坦 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 19 番
• 例 5.2 水星の近日点移動 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 25 番
• 例 6.2 太陽・木星・地球の縁をかすめる光 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 21 番
• 演習 8.4 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 31 番
• 演習 8.5 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 31 番
• 補題 2.2 交差項の除去 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 24 番
• 補題 2.3 球対称計量の Ricci テンソル Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 24 番
• 命題 4.2 軌道方程式 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 23, 25 番
• 命題 4.1 Schwarzschild 時空の測地線 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 23 番
• 注意 3.4 Birkhoff の定理の物理的な帰結 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 18, 19 番
• 定理 3.1 Birkhoff の定理 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 18, 19, 22, 24 番
• 定理 6.1 光の偏向角 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 21 番
• 定理 5.1 近日点移動 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 20, 25 番
• 定理 7.1 Schwarzschild 時空での振動数比 Schwarzschild 解と太陽系での検証：Birkhoff の定理から近日点移動・光の偏向・赤方偏移まで → 22 番
• 系 7.2 ニュートン極限では潮汐力に一致する 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 9 番
• 定義 3.2 ねじれなしと計量適合 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 6 番
• 命題 3.3 接続の成分表示 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 1, 2, 6, 7 番
• 命題 5.5 計量の対称性と保存量 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 5 番
• 命題 5.2 測地線方程式の性質 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 5 番
• 命題 2.2 テンソルの変換則 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 1, 7 番
• 注意 5.4 時間的測地線は固有時の最大 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 4 番
• 定理 7.1 測地線偏差方程式 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 8, 9 番
• 定理 5.3 測地線の変分原理 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 4 番
• 定理 3.4 Levi-Civita 接続の存在と一意性 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 2, 3, 6 番
• 定理 4.1 局所慣性座標の存在 曲がった時空のテンソル解析：計量・共変微分・測地線・曲率を等価原理から組み立てる → 2, 7, 9 番