共形場理論と頂点作用素代数 50 本ノック

博士・研究50 問。先頭 10 問は無料、残りは購入者向けです。

対象読者: 本テーマ第 1〜7 章の Virasoro 代数・最高ウェイト表現・coset 構成・頂点作用素代数・アフィン Lie 代数・W 代数を一通り読んだ博士課程の人。計算力と仮定の要不要の判断力を確かめます。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• V. G. Kac, A. K. Raina, Bombay Lectures on Highest Weight Representations of Infinite Dimensional Lie Algebras, World Scientific
• V. G. Kac, Vertex Algebras for Beginners, 2nd ed., American Mathematical Society
• E. Frenkel, D. Ben-Zvi, Vertex Algebras and Algebraic Curves, 2nd ed., American Mathematical Society
• P. Di Francesco, P. Mathieu, D. Sénéchal, Conformal Field Theory, Springer

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜8: Witt 代数と Virasoro 代数
• 9〜18: Virasoro の最高ウェイト表現
• 19〜27: coset 構成と極小模型
• 28〜37: 頂点作用素代数
• 38〜44: アフィン Lie 代数と WZW 模型
• 45〜50: W 代数

形式: 単一選択 17・複数選択 8・○× 6・数値 8・並べ替え 3・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 5 / 17 / 20 / 8。

この冊で使う定義・定理（80）

• 系 5.5 WZW 模型の運動方程式 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 43 番
• 定義 2.1 アフィン Kac–Moody 代数 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 38 番
• 例 4.4 アフィン sl(2) の可積分表現 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 26 番
• 演習 6.3 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 19, 39 番
• 補題 2.3 異なる添字の生成元の可換性 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 40 番
• 補題 5.1 Maurer–Cartan 形式の公式 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 43 番
• 補題 4.2 sl(2) の下降の公式 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 42 番
• 命題 2.2 アフィン代数のルート空間分解 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 38, 41 番
• 命題 3.1 普遍アフィン頂点代数 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 44 番
• 命題 3.3 最低次部分の共形重み アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 39 番
• 注意 2.4 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 41 番
• 定理 4.3 可積分最高ウェイト加群の特徴づけ アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 39, 40, 41, 42 番
• 定理 5.4 Polyakov–Wiegmann 恒等式 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 43 番
• 定理 4.5 ユニタリなら可積分 アフィン Lie 代数と WZW 模型：Kac–Moody 代数・菅原 VOA・可積分表現・Polyakov–Wiegmann 恒等式 → 26 番
• 系 3.3 最高ウェイト空間での L₀ coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 21, 22, 27 番
• 演習 8.4 coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 25 番
• 演習 8.3 coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 23 番
• 補題 5.3 h_{r,s} の恒等式 coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 21 番
• 命題 5.2 coset 最高ウェイトベクトルはユニタリ表現を与える coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 27 番
• 注意 3.2 coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 22, 24, 44 番
• 定理 7.1 bc 系の中心電荷 coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 25 番
• 定理 6.3 退化した場の選択則 coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 23 番
• 定理 5.1 GKO の coset Virasoro coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 20, 22, 27 番
• 定理 5.4 離散系列のユニタリ性（GKO） coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 21 番
• 定理 3.1 菅原構成 coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 19, 20, 24, 44 番
• 定理 4.5 sl(2) のアフィン化のユニタリ表現 coset 構成と極小模型：菅原構成・GKO によるユニタリ表現・BPZ の融合則・bc ゴースト → 26 番
• 系 3.5 頂点代数の基本性質 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 30, 31, 37 番
• 定義 6.1 ユニタリ VOA（Dong–Lin） 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 35 番
• 定義 3.1 頂点代数 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 31, 37 番
• 定義 5.1 VOA の加群 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 32 番
• 定義 5.2 Zhu 代数 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 32, 33, 34 番
• 例 4.4 背景電荷つき Heisenberg 頂点作用素代数 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 34 番
• 例 4.5 Virasoro 頂点作用素代数 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 28 番
• 演習 7.4 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 35 番
• 補題 3.3 生成的な場 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 37 番
• 補題 2.1 デルタ関数の性質 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 28, 29 番
• 補題 2.5 Dong の補題 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 30 番
• 補題 4.1 交換関係から局所性へ 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 28, 29 番
• 補題 5.4 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 33, 34, 36 番
• 命題 6.2 準主場の共役 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 35 番
• 定理 3.4 Goddard の一意性定理 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 30 番
• 定理 5.5 Zhu の定理（主張） 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 36 番
• 定理 5.3 最低次部分へのゼロモードの作用 頂点作用素代数：形式的分布と局所性・Dong の補題・Goddard の一意性定理・Borcherds 恒等式・Zhu 代数 → 32, 33, 36 番
• 系 4.4 Virasoro 代数の一意性 Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 3 番
• 定義 5.2 Bott コサイクル Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 7 番
• 定義 3.2 2-コサイクルと第 2 コホモロジー Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 6, 8 番
• 定義 4.3 Virasoro 代数 Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 1 番
• 例 4.6 L₀ のずらしとコバウンダリ Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 1, 5 番
• 演習 6.3 Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 8 番
• 補題 5.1 対数微分の連鎖律 Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 7 番
• 補題 4.1 Virasoro コサイクル Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 2, 4, 6 番
• 命題 5.4 Gelfand–Fuchs コサイクル Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 4 番
• 注意 4.5 Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 5 番
• 定理 5.3 Bott コサイクルと Virasoro–Bott 群 Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 7 番
• 定理 3.3 中心拡大とコホモロジー Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 3, 8 番
• 定理 4.2 Witt 代数の第 2 コホモロジー Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル → 2, 3, 4, 6, 8 番
• 定義 5.1 ユニタリな最高ウェイト表現 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 18 番
• 例 3.2 レベル 1, 2 の Gram 行列 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 13, 15, 18 番
• 例 5.4 0 < c < 1 でのレベル 2 の負ノルム Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 14 番
• 補題 6.1 Fock 加群の Schur の補題 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 16 番
• 命題 4.2 Gram 行列の次数と最高次係数 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 10, 14 番
• 命題 3.1 Shapovalov 形式 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 9, 12, 17 番
• 命題 4.4 特異ベクトルが与える因子 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 9 番
• 命題 5.2 ユニタリ性の初等的な必要条件 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 17 番
• 注意 5.6 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 11 番
• 定理 6.2 Feigin–Fuchs の Fock 表現 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 16 番
• 定理 5.5 Friedan–Qiu–Shenker（主張） Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 11 番
• 定理 4.5 Kac 行列式公式（主張） Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 9, 10, 12, 13, 15 番
• 定理 5.3 c ≥ 1 のユニタリ性 Virasoro の最高ウェイト表現：Verma 加群・Kac 行列式・ユニタリ性・Feigin–Fuchs の Fock 加群 → 12, 14, 18 番
• 系 5.3 最低次部分のデータの分類 W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 49 番
• 定義 2.1 強生成と W 代数 W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 47 番
• 補題 2.2 主場のモードの交換関係 W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 47 番
• 補題 6.1 ずらした菅原作用素 W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 48 番
• 命題 6.2 sl(2) の量子 Hamilton 簡約の基本性質 W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 48, 50 番
• 命題 3.3 Miura 変換の 2 次の係数 W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 46 番
• 注意 6.7 W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 45, 50 番
• 定理 6.5 Gorelik–Kac の単純性判定（主張） W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 48, 50 番
• 定理 6.3 量子 Hamilton 簡約（Feigin–Frenkel、KRW、Arakawa。主張） W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 45 番
• 定理 5.2 Fock 加群の最高ウェイトベクトル上のゼロモード W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 46, 49 番
• 定理 2.3 W₃ 代数（主張） W 代数：Miura 変換・Fateev–Lukyanov 生成元・W₃ のゼロモード代数・量子 Hamilton 簡約 → 47 番