共形場理論と頂点作用素代数

数学博士・研究無料 0 章有料 7 章

Virasoro 代数とその表現、coset 構成と極小模型、頂点作用素代数、アフィン Lie 代数と WZW 模型、W 代数を扱う。

想定読者: 研究者・博士課程以上（数理物理）

前提テーマ:Lie 群と Lie 環の表現論、関数解析と作用素論、フーリエ解析と超関数

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章Witt 代数と Virasoro 代数本円周の微分同相群の Lie 代数として Witt 代数を導入し、その 1 次元中心拡大が本質的に Virasoro 代数ただ 1 つであることを 2-コサイクルの計算で証明する。群の側の Bott コサイクルを構成し、その 2 階微分が Gelfand–Fuchs コサイクルになることを示す。
2. 第 2 章Virasoro の最高ウェイト表現本Virasoro 代数の Verma 加群と反変形式を構成し、Gram 行列式の次数と最高次係数、特異ベクトルからの因子の現れ方を証明する。Kac 行列式公式を主張として受け入れて c ≥ 1 のユニタリ性を導き、Feigin–Fuchs の Fock 加群と退化表現の運動量を計算する。
3. 第 3 章coset 構成と極小模型本アフィン Lie 代数の菅原構成を任意の滑らかな加群で証明し、自由フェルミオンで sl(2) のユニタリ表現を作る。GKO の coset から離散系列 c_m のユニタリ表現を構成し、BPZ の退化条件から融合則を導き、bc ゴースト系の中心電荷を計算する。
4. 第 4 章頂点作用素代数本形式的分布と局所性から頂点代数を公理化し、Dong の補題、Goddard の一意性定理、生成元からの再構成定理、Borcherds 恒等式を証明する。Virasoro 頂点作用素代数と Heisenberg 頂点代数を構成し、Zhu 代数が最高ウェイト空間に作用することとユニタリ性の定式化を示す。
5. 第 5 章アフィン Lie 代数と WZW 模型本単純 Lie 代数からアフィン Kac–Moody 代数を作ってルート系と Chevalley 生成元を定め、普遍アフィン頂点代数に菅原ベクトルで VOA の構造を入れる。可積分最高ウェイト表現を支配的整ウェイトで特徴づけ、WZW 作用の Polyakov–Wiegmann 恒等式と運動方程式を導く。
6. 第 6 章W 代数本高い重みの主場で Virasoro 代数を拡張した W 代数を定義し、自由ボソンの量子 Miura 変換から W₃ 代数の生成元 T, W を構成して W が重み 3 の主場であることを証明する。Fock 加群の最低次部分でのゼロモードが ρ だけずらした Weyl 群の不変式になることを示し、量子 Hamilton 簡約と単純性判定を述べる。
7. 第 7 章BRST コホモロジーと no-ghost 定理本bc ゴースト系と Virasoro 加群から BRST 電荷を作り、Q² が c−26 に比例することをモードと OPE で証明する。半無限コホモロジーを定義し、26 次元 Fock 空間の相対コホモロジーが次数 1 に集中して横波状態と等長同型になる no-ghost 定理を示す。

「共形場理論と頂点作用素代数」は 1 冊の本としてまとめています。無料章を読んで続きが気になったら、本の一覧からどうぞ。