Witt 代数と Virasoro 代数：中心拡大の分類と Bott–Virasoro コサイクル

0. この記事の要点

平面の上で角度を保つ変形（共形変換）を考えると、独立な動かし方が無限に多くあります。この記事では、その動かし方がつくる代数に「余分な定数の方向」を 1 本足す方法（中心拡大）が、本質的にただ 1 通りしかないことを示します。読み終えると、2 次元共形場理論に現れる中心電荷 $c$ がなぜ 1 つの数で足りるのかを、計算で説明できるようになります。

• Witt 代数 $\mathcal{W}$ は基底 $d_n$（$n\in\mathbb{Z}$）と括弧 $[d_m,d_n]=(m-n)d_{m+n}$ をもつ Lie 代数で、Laurent 多項式環 $\mathbb{C}[z,z^{-1}]$ の微分 $d_n=-z^{n+1}\frac{d}{dz}$ の全体です。円周上の三角多項式ベクトル場の複素化でもあり、円周の微分同相群 $\mathrm{Diff}^+(S^1)$ の Lie 代数の「代数的な芯」です。
• Lie 代数 $\mathfrak{g}$ の 1 次元中心拡大（括弧に影響しない方向を 1 本足した代数）の同値類は、第 2 コホモロジー $H^2(\mathfrak{g},\mathbb{C})$（拡大の違いを数える道具）と 1 対 1 に対応します。
• 主定理: $H^2(\mathcal{W},\mathbb{C})$ は 1 次元で、コサイクル $\omega(d_m,d_n)=\frac{m^3-m}{12}\delta_{m+n,0}$ が張ります。したがって非自明な 1 次元中心拡大は Virasoro 代数 $[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m)\delta_{m+n,0}$ ただ 1 つです。
• 群の側では、$\mathrm{Diff}^+(S^1)$ 上の Bott コサイクル $B(\varphi,\psi)=\frac12\int_{S^1}\log(\varphi\circ\psi)'\,d\log\psi'$ が群の 2-コサイクルになり、中心拡大群（Virasoro–Bott 群）を与えます。その 2 階微分は Gelfand–Fuchs コサイクル $\int f'g''\,d\theta$ で、Fourier 基底で $m^3$ に比例します。
• 中心項の $m^3-m$ という形は、$\{d_{-1},d_0,d_1\}\cong\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$ 上でコサイクルが消えるように正規化した結果です。

この記事で使う事前知識

• Lie 代数: 括弧積 $[x,y]$ が交代的で Jacobi 恒等式を満たすベクトル空間。→ Lie 環の構造論
• Killing 形式: $\operatorname{tr}(\mathrm{ad}\,x\,\mathrm{ad}\,y)$ で定まる Lie 代数上の対称双線形形式。→ Lie 環の構造論
• 多項式環: 変数の多項式全体が和と積でなす環。ここでは負べきも許した $\mathbb{C}[z,z^{-1}]$ を使います。→ 多項式環
• 線形写像: 和とスカラー倍を保つ写像。→ 線形写像
• 同値類: 同値関係で「同じ」とみなす元をまとめた集まり。→ 同値類

1. 動機

2 次元の共形変換は、局所的には正則関数 $z\mapsto f(z)$ のすべてで与えられ、無限次元の対称性をなします。その無限小生成子 $-z^{n+1}\partial_z$ たちがつくる Lie 代数が Witt 代数です。ところが量子論では、対称性は射影表現（作用の合成が定数倍を除いてしか成り立たない表現）として実現されるのが普通で、Lie 代数のレベルでは 中心拡大 が現れます。2 次元共形場理論の基本的な不変量である 中心電荷 $c$ は、まさにこの中心拡大の係数です。

そこで最初に問うべきことは「Witt 代数の中心拡大にはどれだけの自由度があるか」です。答えは「本質的に 1 つ」で、これが Virasoro 代数がただ 1 つのパラメータ $c$ をもつ理由です。この記事ではこれを Lie 代数のコホモロジーの計算として証明し、さらに群 $\mathrm{Diff}^+(S^1)$ の側で同じ拡大を与える Bott のコサイクルを構成します。

このテーマの見通し。 テーマ「共形場理論と頂点作用素代数」は 6 章からなります。

章	内容
本章	Witt 代数・Virasoro 代数・中心拡大の分類・Bott コサイクル
Virasoro の最高ウェイト表現	Verma 加群、Kac 行列式、ユニタリ性の必要条件、Feigin–Fuchs の Fock 加群
coset 構成と極小模型	菅原構成・GKO coset によるユニタリ表現の構成、BPZ の融合則、bc ゴースト
頂点作用素代数	形式的分布と局所性、Dong の補題、Goddard の一意性定理、Borcherds 恒等式、Zhu 代数
アフィン Lie 代数と WZW 模型	アフィン Kac–Moody 代数、アフィン頂点代数、可積分表現、Polyakov–Wiegmann 恒等式
W 代数	Miura 変換、$\mathcal{W}_3$ のゼロモード、量子 Hamilton 簡約

前半 3 章は Lie 代数の表現論（最高ウェイト理論）の無限次元版として、後半 3 章は頂点作用素代数という代数構造の上で議論します。

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