量子力学 50 本ノック

学部50 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマ全 7 章（量子論の誕生から摂動論まで）の内容と、学部の微積分・線形代数・常微分方程式を学んだ人。計算問題を自分で解いて理解を確かめたい学部生向けです。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 4 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• D. J. Griffiths, D. F. Schroeter, Introduction to Quantum Mechanics
• J. J. Sakurai, J. Napolitano, Modern Quantum Mechanics
• L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Quantum Mechanics (Non-relativistic Theory)
• R. Eisberg, R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜7: 量子力学の誕生
• 8〜14: シュレーディンガー方程式と波動関数
• 15〜22: 演算子と物理量
• 23〜31: 1 次元の簡単な系
• 32〜38: 水素原子
• 39〜45: 角運動量とスピン
• 46〜50: 摂動論

形式: 単一選択 16・複数選択 8・○× 6・数値 8・並べ替え 4・誤り探し 4・記述 4。難易度 ★〜★★★★: 5 / 26 / 19 / 0。

この冊で使う定義・定理（85）

• 定義 2.1 軌道角運動量演算子 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 42 番
• 定義 5.1 スピン角運動量 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 45 番
• 例 3.8 j = 1 の行列表現 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 44 番
• 例 5.3 連続シュテルン=ゲルラッハ実験 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 45 番
• 例 5.4 スピノルは 2π 回転で符号が変わる 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 40 番
• 補題 3.5 昇降演算子の基本関係 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 39 番
• 命題 3.3 J² は各成分と可換 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 44 番
• 命題 2.2 軌道角運動量の交換関係 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 42 番
• 命題 4.1 軌道角運動量の量子数は整数 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 40 番
• 命題 5.2 パウリ行列の代数 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 45 番
• 注意 6.7 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 41 番
• 注意 3.7 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 40 番
• 定理 6.2 角運動量の合成則 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 41, 43 番
• 定理 3.6 角運動量の固有値 角運動量とスピン：交換関係から固有値・パウリ行列・合成則を導く → 39, 40, 43, 44 番
• 公理 6.1 ド・ブロイの関係式 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 6 番
• 公理 5.1 アインシュタインの光量子仮説 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 3, 4 番
• 公理 4.1 プランクの量子仮説 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 7 番
• 系 4.3 二つの極限 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 5 番
• 系 4.4 シュテファン・ボルツマンの法則 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 2, 5 番
• 例 6.3 ド・ブロイ波長のスケール感 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 6 番
• 命題 2.3 空洞のモード密度 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 1, 7 番
• 命題 5.3 アインシュタインの光電方程式 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 3 番
• 命題 3.1 レイリー・ジーンズの法則と全エネルギーの発散 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 1 番
• 定理 4.2 プランクの放射法則 量子力学の誕生：黒体放射・光電効果・物質波が壊した古典像 → 5, 7 番
• 系 7.1 準位 $E_n$ の縮退度 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 34 番
• 定義 2.1 中心力ポテンシャル 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 37 番
• 定義 6.1 水素原子の量子数と軌道 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 35 番
• 定義 3.3 球面調和関数 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 32 番
• 例 6.2 基底状態の大きさとビリアル定理 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 35 番
• 補題 5.1 級数が終端しなければ規格化できない 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 38 番
• 命題 4.1 動径方程式の 1 次元化 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 37 番
• 命題 2.2 重心運動の分離 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 33, 36 番
• 注意 7.2 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 34 番
• 定理 3.4 角度部分の固有値の量子化 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 32, 38 番
• 定理 5.2 水素原子のエネルギー準位 水素原子：中心力場のシュレーディンガー方程式から n, l, m が現れるまで → 33, 34, 36, 38 番
• 系 2.4 束縛状態のパリティ 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 26 番
• 定義 2.1 束縛状態と散乱状態 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 26 番
• 定義 5.1 消滅演算子・生成演算子・数演算子 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 29, 30 番
• 定義 4.1 確率流・透過率・反射率 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 31 番
• 補題 5.2 はしご演算子の交換関係 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 28, 29 番
• 命題 4.2 確率の保存 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 31 番
• 命題 2.2 接続条件 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 24, 31 番
• 命題 2.3 1 次元束縛状態の非縮退 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 26 番
• 注意 4.6 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 27 番
• 注意 3.4 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 25 番
• 定理 4.3 矩形障壁の透過率 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 27 番
• 定理 3.1 無限井戸のスペクトル 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 9, 23, 25, 48 番
• 定理 5.3 調和振動子のスペクトル 1次元の簡単な系：無限井戸・トンネル効果・調和振動子 → 28, 29, 30, 46 番
• 公理 6.2 測定の公理 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 22 番
• 系 5.4 ハイゼンベルクの不確定性原理 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 16, 18 番
• 系 4.4 正準交換関係は有限次元では実現できない 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 19 番
• 定義 4.1 交換子 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 17 番
• 定義 3.2 エルミート演算子 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 15 番
• 定義 5.1 期待値と不確定性 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 18, 20, 22 番
• 例 3.6 位置・運動量・ハミルトニアンのエルミート性 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 15 番
• 補題 4.2 交換子の代数的性質 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 17 番
• 命題 6.3 ボルン則と期待値・不確定性の整合 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 22 番
• 命題 5.2 不確定性がゼロになるのは固有状態のときに限る 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 19, 20 番
• 定理 4.3 正準交換関係 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 15, 17, 42 番
• 定理 3.5 エルミート演算子の固有値と固有ベクトル 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 21 番
• 定理 5.3 ロバートソンの不確定性関係 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 19 番
• 定理 6.1 可換なエルミート演算子は同時対角化できる 演算子と物理量：エルミート演算子と交換関係から不確定性関係へ → 19, 21 番
• 系 3.3 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 47 番
• 定義 2.2 中間規格化 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 50 番
• 例 4.1 2 準位系：厳密解と摂動級数の比較 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 49 番
• 命題 3.5 ヘルマン–ファインマンの定理 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 49 番
• 命題 3.4 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 47 番
• 注意 6.2 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 47 番
• 注意 3.2 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 49 番
• 定理 3.1 レイリー–シュレーディンガーの摂動公式 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 46, 47, 48, 50 番
• 定理 5.2 縮退がある場合の 1 次摂動 摂動論：解けない問題を「解ける問題の近く」で解く → 49 番
• 系 4.3 規格化の保存 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 11, 13 番
• 定義 4.1 ボルンの規則（位置の確率密度） シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 10 番
• 定義 5.2 物理量の期待値 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 9, 11 番
• 定義 3.1 時間依存シュレーディンガー方程式 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 8, 12, 13 番
• 例 4.5 ガウス型波束の規格化と確率の計算 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 10 番
• 例 6.5 2 つの定常状態の重ね合わせと期待値の振動 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 14 番
• 補題 5.4 期待値の時間微分 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 12 番
• 命題 5.3 エルミート演算子の期待値は実数 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 12 番
• 命題 3.3 重ね合わせの原理 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 8 番
• 注意 3.4 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 8 番
• 注意 2.2 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 8 番
• 注意 6.6 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 14 番
• 定理 4.2 確率の連続の方程式 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 13 番
• 定理 6.3 固有関数展開による一般解 シュレーディンガー方程式と波動関数：確率解釈から期待値の時間発展まで → 9, 11, 14, 30 番