高校数学（代数）100 本ノック

高校〜一般100 問。全問無料です。

対象読者: 高校数学の数と式・2 次関数・多項式・整数・数列の基本計算を一通り学んだ高校生。本テーマの各章の内容を前提にし、大学の数学は仮定しません。

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執筆: Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 3 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• 高木貞治『初等整数論講義』（共立出版）
• G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers
• G. H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Pólya, Inequalities
• R. L. Graham, D. E. Knuth, O. Patashnik, Concrete Mathematics

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜10: 数と式
• 11〜24: 2 次関数
• 25〜40: 多項式と方程式
• 41〜54: 式と証明
• 55〜66: 整数 I（約数・n 進法・連分数）
• 67〜78: 整数 II（合同式・循環小数・Pell 方程式）
• 79〜88: 数列
• 89〜100: 漸化式と母関数

形式: 単一選択 36・複数選択 17・○× 10・数値 15・並べ替え 6・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 32 / 43 / 20 / 5。

この冊で使う定義・定理（88）

• 命題 3.6 等比級数の収束と発散 級数と収束判定：部分和の極限・4 つの判定法・絶対収束と条件収束 → 96 番
• 系 7.7 平方数でない自然数の平方根 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 5 番
• 定理 3.2 数学的帰納法の原理 証明の技術：数学的帰納法と背理法はなぜ正しいのか、不変量の原理 → 83 番
• 定義 3.1 位数 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 67, 69, 70 番
• 命題 2.1 倍数の判定法 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 75, 76 番
• 命題 3.3 冪の余りの周期 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 68, 69 番
• 定理 3.2 位数は φ(m) を割る 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 67, 68, 70, 72 番
• 定理 7.3 Pell 方程式の解の存在 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 78 番
• 定理 7.4 Pell 方程式の解の構造 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 78 番
• 定理 5.2 循環節の長さは 10 の位数 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 71, 72 番
• 定理 6.2 原始ピタゴラス数 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 77 番
• 定理 5.1 有理数と循環小数 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 71 番
• 定理 4.1 Wilson の定理とその逆 整数の性質 II：合同式・位数・循環小数・ピタゴラス数・Pell 方程式 → 73, 74 番
• 系 4.3 Engel の形（Titu の補題） 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 45 番
• 定義 5.1 区間上の凸関数 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 50 番
• 定義 6.1 優越と対称和 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 47 番
• 定義 3.1 いろいろな平均 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 49 番
• 命題 2.2 基本的な恒等式と不等式 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 53 番
• 命題 7.1 条件付き最大最小の 2 つの型 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 43, 54 番
• 定理 3.2 相加相乗平均の不等式 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 41, 42, 43, 48, 49, 52, 53, 54 番
• 定理 4.1 Cauchy–Schwarz の不等式（実数の列） 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 44, 46 番
• 定理 5.2 Jensen の不等式（有限版） 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 50 番
• 定理 6.4 Muirhead の不等式 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 47 番
• 定理 3.5 平均の大小関係 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 48, 49 番
• 定理 4.5 並べ替え不等式 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 51 番
• 定理 3.3 重み付き相加相乗平均（有理数の重み） 式と証明：相加相乗平均・Cauchy–Schwarz から Muirhead・Maclaurin まで → 52 番
• 定義 7.1 Farey 数列 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 63 番
• 命題 5.1 倍数の個数 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 62 番
• 命題 6.4 √2 の連分数と近似分数 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 64 番
• 定理 4.1 n 進表示の存在と一意性 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 60 番
• 定理 8.1 単位分数の和（エジプト式分数） 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 64, 65 番
• 定理 7.2 Farey 数列の隣り合う分数 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 63 番
• 定理 6.2 有理数と有限連分数 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 64, 66 番
• 定理 5.2 Legendre の公式 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 58, 59, 62 番
• 定理 3.3 2 種類の硬貨で払えない最大の金額 整数の性質 I：約数・互除法・n 進法・連分数 → 57, 61 番
• 定義 3.1 絶対値 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 1, 7 番
• 命題 7.1 必要条件・十分条件と真理集合 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 4 番
• 命題 5.1 因数分解の公式 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 6, 40 番
• 命題 6.1 平方根の和の無理性 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 5 番
• 命題 4.2 分母の有理化 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 6 番
• 命題 2.2 実数の計算規則 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 7, 8, 9, 48 番
• 命題 4.1 平方根の存在と計算規則 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 1, 2, 5, 10 番
• 定理 3.2 絶対値の性質と三角不等式 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 7 番
• 定理 6.2 二重根号が外れる条件 数と式：実数の性質と式の計算を公理から組み立てる → 3, 10 番
• 系 8.2 二項係数の振り分けの公式 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 38 番
• 定義 4.1 基本対称式 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 30, 32 番
• 命題 7.2 3 次方程式の判別式と実数解の個数 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 33, 35, 37 番
• 定理 7.1 Cardano の公式 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 33, 34, 37, 40 番
• 定理 4.2 複素数係数の 2 次方程式 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 19, 90 番
• 定理 3.1 根の個数と恒等式の原理 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 28 番
• 定理 3.2 Lagrange 補間 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 27 番
• 定理 5.3 Newton の恒等式 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 31 番
• 定理 2.2 多項式の除法の原理 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 27 番
• 定理 6.1 有理根定理 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 36 番
• 定理 2.3 剰余の定理・因数定理 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 25, 26, 27, 34 番
• 定理 8.1 1 の冪根の直交関係 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 38, 39 番
• 定理 5.1 対称式の基本定理 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 32 番
• 定理 4.3 解と係数の関係 多項式の割り算と高次方程式：因数定理から Cardano の公式・1 の冪根まで → 29, 30, 31 番
• 補題 3.1 平方完成 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 11, 14, 20, 23 番
• 命題 7.1 2 つの 2 次方程式の共通解 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 24 番
• 命題 7.2 判別式で示す不等式 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 21, 23, 46 番
• 命題 5.3 判別式の正体と解と係数の関係 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 18 番
• 定理 5.2 判別式と解の個数 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 15, 19 番
• 定理 4.1 閉区間での 2 次関数の最大・最小 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 12, 13, 14 番
• 定理 5.1 2 次方程式の解の公式 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 20 番
• 定理 6.1 2 次不等式の解 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 16, 17, 21, 22 番
• 定理 6.2 解の配置 2 次関数：平方完成から最大最小・判別式・解の配置まで → 16, 17, 22 番
• 定義 6.1 母関数 漸化式と母関数：特性方程式・行列の冪・Fibonacci 数・分割数 → 98 番
• 定理 7.1 Euler の分割恒等式 漸化式と母関数：特性方程式・行列の冪・Fibonacci 数・分割数 → 97 番
• 定理 5.1 Fibonacci 数の最大公約数 漸化式と母関数：特性方程式・行列の冪・Fibonacci 数・分割数 → 94 番
• 定理 2.1 1 次の 2 項間漸化式 漸化式と母関数：特性方程式・行列の冪・Fibonacci 数・分割数 → 89, 99 番
• 定理 6.2 線形漸化式の母関数と代入 漸化式と母関数：特性方程式・行列の冪・Fibonacci 数・分割数 → 96, 98 番
• 定理 3.1 行列の冪を多項式の剰余で計算する 漸化式と母関数：特性方程式・行列の冪・Fibonacci 数・分割数 → 93 番
• 定理 4.1 分数型漸化式 漸化式と母関数：特性方程式・行列の冪・Fibonacci 数・分割数 → 95 番
• 定理 2.2 3 項間の線形漸化式と特性方程式 漸化式と母関数：特性方程式・行列の冪・Fibonacci 数・分割数 → 90, 91, 92, 93, 96, 99, 100 番
• 定義 3.1 差分と下降階乗冪 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 80, 81, 84, 85 番
• 命題 2.3 等差数列の和 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 83, 87, 88 番
• 命題 5.1 連続する正の整数の和としての表し方 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 87 番
• 命題 3.6 階差と多項式の次数 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 86 番
• 命題 3.3 下降階乗冪の差分と和 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 85 番
• 命題 2.4 等比数列の和 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 82, 88 番
• 命題 2.5 冪の和 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 79, 88 番
• 命題 2.2 和の記号の規則 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 79 番
• 定理 3.5 Newton の前進差分公式（階差数列の一般化） 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 86 番
• 定理 3.2 和分の基本公式（telescoping） 数列：等差・等比、和の計算、差分と和分、数学的帰納法 → 80, 81, 84, 85, 88 番
• 定理 2.2 ベズーの等式 合同式とフェルマーの小定理：余りだけの世界で計算する → 55 番
• 命題 4.1 一次不定方程式 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 55, 56 番
• 命題 5.3 付値の規則と gcd・lcm 整除と素因数分解：互除法・中国剰余定理・オイラー関数 → 59 番