高校数学：数と式・整数・数列

数学高校〜一般無料 8 章有料 0 章

高校の数学 I・II・A・B のうち、数と式・集合と命題・2 次関数・式と証明・複素数と方程式・整数の性質・数列を、

想定読者: 高校生、高校数学を学び直す大学生・社会人

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目次

1. 第 1 章数と式：実数の性質と式の計算無料実数の計算規則・絶対値の三角不等式・平方根の存在を順序体の公理と連続性公理から導き、二重根号が外れる条件や無理数の判定まで、高校の「数と式」を証明つきで整理する。
2. 第 2 章2 次関数：グラフ・最大最小・2 次方程式と不等式無料2 次関数のグラフを平方完成で読み、閉区間での最大最小の場合分けが漏れなく重複なく尽くされることを示す。解の公式と判別式、2 次不等式、解の配置、共通解を証明つきで整理する。
3. 第 3 章多項式の割り算と高次方程式無料多項式の除法の原理を証明し、因数定理・係数比較・Lagrange 補間、解と係数の関係、対称式の基本定理と Newton の恒等式、有理根定理、Cardano の公式と 3 次の判別式、1 の冪根の直交関係を証明つきで導く。
4. 第 4 章式と証明：恒等式と不等式無料恒等式と不等式の証明の型を整理し、相加相乗平均（前進後退帰納法）、平均の大小関係、Cauchy–Schwarz、並べ替え、Chebyshev、Jensen、Muirhead、Maclaurin の各不等式を等号条件つきで証明する。
5. 第 5 章整数の性質 I：約数・互除法・n 進法無料約数の総和と完全数、2 種類の硬貨で払えない最大の金額、n 進法の存在と一意性、Legendre の公式、連分数、Farey 数列と Ford の円、単位分数の和を、既存の初等整数論の定理を使って証明する。
6. 第 6 章整数の性質 II：合同式とその応用無料倍数の判定法、位数と冪の余りの周期、Wilson の定理とその逆、有理数と循環小数・循環節の長さ、原始ピタゴラス数と単位円の有理点、Pell 方程式の解の存在と構造を合同式で証明する。
7. 第 7 章数列：等差・等比・和の計算と数学的帰納法無料等差数列・等比数列の和、冪の和 Σk^2・Σk^3、差分作用素と下降階乗冪による和分、階差数列と Newton の前進差分公式、連続する整数の和の表し方、元利均等返済を、証明つきで整理する。
8. 第 8 章漸化式と母関数無料1 次・2 次の線形漸化式を特性方程式で解き、行列の冪を剰余で計算し、分数型漸化式を固定点で直す。Fibonacci 数の整除性、母関数への数の代入、Euler の分割恒等式を証明つきで導く。