テンソル

定義 2.1（「曲がった時空のテンソル解析」§2）

点 $p\in M$ における型 $(r,s)$ のテンソルとは、多重線形写像

T\colon\ \underbrace{T^*_pM\times\cdots\times T^*_pM}_{r\text{ 個}}\times\underbrace{T_pM\times\cdots\times T_pM}_{s\text{ 個}}\to\mathbb{R}

のことである。座標 $x^\mu$ に関する成分を

T^{\mu_1\cdots\mu_r}{}_{\nu_1\cdots\nu_s}=T\bigl(dx^{\mu_1},\ldots,dx^{\mu_r},\partial_{\nu_1},\ldots,\partial_{\nu_s}\bigr)

で定める。各点にテンソルを割り当て、成分が滑らかであるものをテンソル場という。型 $(1,0)$ はベクトル、型 $(0,1)$ は余ベクトル（1 形式）である。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。