Lorentz 計量と時空

多様体 $M$ 上の型 $(0,2)$ のテンソル場 $g$ が次を満たすとき、Lorentz 計量という。

1. $g$ は対称である：$g(X,Y)=g(Y,X)$。成分で $g_{\mu\nu}=g_{\nu\mu}$。
2. 各点 $p$ で、$T_pM$ の基底 $e_0,e_1,e_2,e_3$ が存在して $g(e_a,e_b)=\eta_{ab}$ となる（符号 $(-,+,+,+)$、とくに非退化）。

組 $(M,g)$（$M$ は 4 次元、連結、ハウスドルフ）を時空という。$v\in T_pM$ は、$g(v,v)<0$ のとき時間的、$g(v,v)=0$（$v\ne0$）のときヌル、$g(v,v)>0$ のとき空間的という。線素は $ds^2=g_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu$ と書く。