物理学 › 一般相対性理論 › 曲がった時空のテンソル解析

Levi-Civita 接続の存在と一意性

定理 3.4（「曲がった時空のテンソル解析」§3）・ ✓公理まで証明済み

時空 $(M,g)$ には、ねじれなしかつ計量適合な接続がただ 1 つ存在する。それを Levi-Civita 接続といい、座標系での接続係数は

\Gamma^{\sigma}{}_{\mu\nu}=\frac12\,g^{\sigma\lambda}\bigl(\partial_\mu g_{\nu\lambda}+\partial_\nu g_{\lambda\mu}-\partial_\lambda g_{\mu\nu}\bigr)

で与えられる。これを Christoffel 記号という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析
- 接続（共変微分）定義 3.1・曲がった時空のテンソル解析

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Lorentz 版の Gauss の補題✓補題 4.2・Lorentz 多様体の因果構造
球対称計量の Ricci テンソル✓補題 2.3・Schwarzschild 解と太陽系での検証
球対称な殻の内側は平坦✓系 3.3・Schwarzschild 解と太陽系での検証
局所慣性座標の存在✓定理 4.1・曲がった時空のテンソル解析
測地線の変分原理✓定理 5.3・曲がった時空のテンソル解析

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