Lorentz 版の Gauss の補題

補題 4.2（「Lorentz 多様体の因果構造」§4）・ ✓公理まで証明済み

$p\in M$ 、 $v\in\mathcal{E}_p$ 、 $w\in T_pM$ について $g\bigl(d(\exp_p)_v(v),d(\exp_p)_v(w)\bigr)=g(v,w)$ である。したがって、 $\exp_p$ が $0$ の星形開近傍 $B$ 上で開集合 $N$ への微分同相のとき、 $P=(\exp_p|_B)^{-1}\colon N\to B$ 、 $q(y)=g_p(P(y),P(y))$ 、 $\tilde P(y)=d(\exp_p)_{P(y)}(P(y))$ と置くと

dq_y(w)=2\,g_y\bigl(\tilde P(y),w\bigr)\qquad(y\in N,\ w\in T_yM)

であり、 $\tilde P(y)$ は測地線 $t\mapsto\exp_p(tP(y))$ の $t=1$ での速度ベクトルである。さらに、 $P(y)\in T^+_p$ ならば $\tilde P(y)\in T^+_y$ である。また $v\in\mathcal{E}_p$ が未来向き因果的（時間的）ならば、測地線 $t\mapsto\exp_p(tv)$ （ $0\le t\le1$ ）は未来向き因果的（時間的）曲線である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 91 件、定義なども含めて 110 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造
- 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
    多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
  - 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
  - シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
    極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性この先をたどる →
- Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性
  - 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続（上で展開済み）
    斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系（上で展開済み）
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系
    C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    線形増大なら大域的に存在する✓系 6.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性この先をたどる →
- 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
  - 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
  - Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性（上で展開済み）
  - 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）
曲率テンソルの対称性✓定理 6.3・曲がった時空のテンソル解析
- Riemann 曲率テンソル定義 6.1・曲がった時空のテンソル解析
- テンソル等式は 1 つの座標系で確かめれば足りる✓補題 4.2・曲がった時空のテンソル解析
  - テンソルの変換則✓命題 2.2・曲がった時空のテンソル解析
    共変と反変✓命題 4.3・ベクトル場と微分形式この先をたどる →
  - 接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）
  - 局所慣性座標の存在✓定理 4.1・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）
- 局所慣性座標の存在✓定理 4.1・曲がった時空のテンソル解析
  - Lorentz 計量と時空定義 2.3・曲がった時空のテンソル解析
  - 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
    縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
    余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質この先をたどる →
  - テンソルの変換則✓命題 2.2・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）
  - 接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）
  - Levi-Civita 接続の存在と一意性✓定理 3.4・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）
Levi-Civita 接続の存在と一意性✓定理 3.4・曲がった時空のテンソル解析
- 接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析
  - 接続（共変微分）定義 3.1・曲がった時空のテンソル解析
時間錐の基本性質✓補題 2.1・Lorentz 多様体の因果構造

これを使っている定理証明で参照している 1 件

局所因果構造✓定理 4.4・Lorentz 多様体の因果構造

Lorentz 版の Gauss の補題

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件