数学 › 多様体論 › ベクトル場と微分形式

共変と反変

命題 4.3（「ベクトル場と微分形式」§4） ・ ✓公理まで証明済み

チャート (U,x)(U,x)、(V,y)(V,y) が U∩V≠∅U\cap V \ne \varnothing で重なっているとする。U∩VU\cap V 上で X=∑iXi∂/∂xi=∑jX~j∂/∂yjX = \sum_i X^i \partial/\partial x^i = \sum_j \tilde X^j \partial/\partial y^j、ω=∑iωi dxi=∑jω~j dyj\omega = \sum_i \omega_i\, dx^i = \sum_j \tilde\omega_j\, dy^j と成分表示すると

X~j=∑i=1n∂yj∂xi Xi,ωi=∑j=1n∂yj∂xi ω~j\tilde X^{j} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial y^{j}}{\partial x^{i}}\, X^{i}, \qquad \omega_{i} = \sum_{j=1}^{n} \frac{\partial y^{j}}{\partial x^{i}}\, \tilde\omega_{j}

が成り立つ。すなわちベクトル場の成分はヤコビ行列 J=(∂yj/∂xi)J=(\partial y^j/\partial x^i) で、1 形式の成分は JJ の転置で「逆向きに」変換される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件