座標微分は双対基底

チャート $(U,x)$ 上で、各 $p\in U$ において $\bigl(dx^1|_p,\dots,dx^n|_p\bigr)$ は $\bigl(\partial/\partial x^1|_p,\dots,\partial/\partial x^n|_p\bigr)$ の双対基底である。すなわち

したがって $U$ 上の任意の 1 形式 $\omega$ は $\omega = \sum_{i=1}^n \omega_i\, dx^i$（$\omega_i = \omega(\partial/\partial x^i)$）と一意に書ける。さらに $f\in C^\infty(U)$ に対し $df = \sum_{i=1}^n \dfrac{\partial f}{\partial x^i}\,dx^i$ である。