時間錐の基本性質

$e_0\in V$ を $\langle e_0,e_0\rangle=-1$ となるベクトルとし、$T^+=\{v:\langle v,v\rangle<0,\ \langle v,e_0\rangle<0\}$、$C^+=\{v\ne0:\langle v,v\rangle\le0,\ \langle v,e_0\rangle<0\}$ と置く。

1. 時間的ベクトル全体は互いに交わらない二つの開凸錐 $T^+$ と $-T^+$ の和である。因果的ベクトル全体は $C^+$ と $-C^+$ の交わらない和である。
2. $u,v\in C^+$ ならば $\langle u,v\rangle\le0$ で、等号は $u,v$ がともにヌルで互いに正の定数倍のときに限る。とくに一方が時間的なら $\langle u,v\rangle<0$ である。
3. $\overline{C}^+=C^+\cup\{0\}$ は閉凸錐で、$T^+$ の閉包に等しい。$C^++T^+\subset T^+$、また $C^+$ に属する時間的ベクトルは $T^+$ に属する。
4. 因果的な $v$ と時間的な $w$ について $\langle v,w\rangle\ne0$ である。$w\in T^+$ なら、因果的な $v$ が $C^+$ に属することと $\langle v,w\rangle<0$ は同値である。