逆関数定理

定理 4.1（「逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値」§4）・ ✓公理まで証明済み

$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、 $F:U\to\mathbb{R}^n$ を $C^1$ 級写像とし、 $a\in U$ で $DF(a)$ が正則（ $\det DF(a)\ne0$ ）であるとします。このとき $a$ の開近傍 $V\subset U$ と $b=F(a)$ の開近傍 $W$ が存在して、 $F|_V:V\to W$ は全単射であり、その逆写像 $G:W\to V$ も $C^1$ 級です。さらに

DG(y)=\bigl(DF(G(y))\bigr)^{-1}\qquad (y\in W)

が成り立ちます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 23 件、定義なども含めて 31 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
- ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
- 実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列の基本性質✓命題 7.2・実数の完備性とコーシー列
    数列の収束・有界性・単調性定義 2.2・実数の完備性とコーシー列
    コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓定理 6.3・実数の完備性とコーシー列
    単調部分列の補題✓補題 6.2・実数の完備性とコーシー列
    完備性の公理（単調収束の原理）公理 3.1・実数の完備性とコーシー列
  - コーシー列定義 7.1・実数の完備性とコーシー列
  - 部分列定義 6.1・実数の完備性とコーシー列
余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
- 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
- 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
  - 符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質

これを使っている定理証明で参照している 6 件

陰関数定理✓定理 5.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
重積分の変数変換公式✓定理 6.7・重積分と累次積分
特性曲線法の局所存在と一意性✓定理 6.1・安定性・力学系・特性曲線法
単射な局所微分同相は微分同相✓補題 4.2・ℝ^d の変数変換公式と極座標
大場領域の近くの変数変換（原論文 (1.22)(1.23)）✓命題 8.2・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)
局所慣性座標の存在✓定理 4.1・曲がった時空のテンソル解析

逆関数定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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関連するノック 3 問

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