数学 › 微分積分学 › 逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値

陰関数定理

定理 5.1（「逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値」§5） ・ ✓公理まで証明済み

Ω⊂Rn×Rm\Omega\subset\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^m を開集合とし、点を (x,y)(x,y)（x∈Rn, y∈Rmx\in\mathbb{R}^n,\ y\in\mathbb{R}^m）と書きます。F:Ω→RmF:\Omega\to\mathbb{R}^m を C1C^1 級、(a,b)∈Ω(a,b)\in\Omega で F(a,b)=0F(a,b)=0 とし、yy に関する偏微分のなす m×mm\times m 行列 DyF(a,b)=(∂Fi/∂yj(a,b))D_yF(a,b)=\bigl(\partial F_i/\partial y_j(a,b)\bigr) が正則であるとします。このとき aa の開近傍 XX、bb の開近傍 YY と C1C^1 級写像 g:X→Yg:X\to Y が存在して、X×Y⊂ΩX\times Y\subset\Omega であり

{(x,y)∈X×Y:F(x,y)=0}={(x,g(x)):x∈X}\{(x,y)\in X\times Y:F(x,y)=0\}=\{(x,g(x)):x\in X\}

が成り立ちます。さらに g(a)=bg(a)=b であり、DxFD_xF を xx に関する偏微分のなす m×nm\times n 行列として

Dg(x)=−(DyF(x,g(x)))−1DxF(x,g(x))Dg(x)=-\bigl(D_yF(x,g(x))\bigr)^{-1}D_xF(x,g(x))

です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 28 件、定義なども含めて 37 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 8 件

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