ラグランジュの乗数法

定理 6.2（「逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値」§6）・ ✓公理まで証明済み

$U\subset\mathbb{R}^n$ を開集合、 $f:U\to\mathbb{R}$ と $g=(g_1,\dots,g_m):U\to\mathbb{R}^m$ （ $m<n$ ）を $C^1$ 級とします。 $a\in M=\{g=0\}$ が $f|_M$ の条件付き極値点であり、かつ $Dg(a)$ の階数が $m$ （すなわち $\nabla g_1(a),\dots,\nabla g_m(a)$ が一次独立）ならば、実数 $\lambda_1,\dots,\lambda_m$ が存在して

\nabla f(a)=\sum_{i=1}^m\lambda_i\nabla g_i(a)

が成り立ちます。この $\lambda_i$ をラグランジュ乗数といいます。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 37 件、定義なども含めて 47 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質
- 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
  - 余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
    基本変形と行列式✓命題 4.3・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質（上で展開済み）
  - 転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質
    符号の基本性質✓補題 2.2・行列式とその性質
- 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
- 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換
  - 取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換
    生成される部分空間は S を含む最小の部分空間✓補題 4.4・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
  - 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換
    取り替え補題✓補題 5.4・ベクトル空間と線形変換（上で展開済み）
- 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質
  - 行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質（上で展開済み）
陰関数定理✓定理 5.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
- 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質（上で展開済み）
- 連鎖律（ヤコビ行列の積）✓定理 9.4・多変数関数の微分と偏微分
  - 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分
    全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
    全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
  - 全微分可能性の基本性質（n 変数・ベクトル値）✓命題 9.2・多変数関数の微分と偏微分
フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理
- 極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

臨界点の 2 階の評価✓補題 7.2・準備 4

ラグランジュの乗数法

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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