全微分可能性から出てくるもの

$f$ が $\boldsymbol a \in U$ で全微分可能で、定義 4.1 の条件が組 $(p,q)$ について成り立つとします。このとき次が成り立ちます。

1. $f$ は $\boldsymbol a$ で連続である。
2. 任意の単位ベクトル $\boldsymbol u = (u_1,u_2)$ について方向微分係数が存在し、$D_{\boldsymbol u} f(\boldsymbol a) = p\,u_1 + q\,u_2$ である。とくに $f$ は $\boldsymbol a$ で偏微分可能で $p = f_x(\boldsymbol a),\ q = f_y(\boldsymbol a)$ である。
3. したがって条件を満たす組 $(p,q)$ はただ 1 つに定まる。