数学 › 微分積分学 › 多変数関数の微分と偏微分

勾配は最急上昇方向を指す

命題 5.4（「多変数関数の微分と偏微分」§5） ・ ✓公理まで証明済み

ff が a\boldsymbol a で全微分可能で ∇f(a)≠0\nabla f(\boldsymbol a) \ne \boldsymbol 0 とします。単位ベクトル u\boldsymbol u を動かすとき、方向微分係数 Duf(a)D_{\boldsymbol u}f(\boldsymbol a) は

u=∇f(a)∥∇f(a)∥のとき最大値  ∥∇f(a)∥\boldsymbol u = \frac{\nabla f(\boldsymbol a)}{\|\nabla f(\boldsymbol a)\|} \quad \text{のとき最大値} \ \ \|\nabla f(\boldsymbol a)\|

を取り、その逆向きのとき最小値 −∥∇f(a)∥-\|\nabla f(\boldsymbol a)\| を取ります。また Duf(a)=0D_{\boldsymbol u} f(\boldsymbol a) = 0 となるのは u\boldsymbol u が ∇f(a)\nabla f(\boldsymbol a) と直交するとき、かつそのときに限ります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。