全微分可能性の基本性質（n 変数・ベクトル値）

$\boldsymbol f$ が $\boldsymbol a$ で全微分可能で、定義 9.1 の条件が行列 $A$ で成り立つとします。

1. $\boldsymbol f$ は $\boldsymbol a$ で連続である。
2. すべての成分 $f_i$ が $\boldsymbol a$ で偏微分可能で、$A$ の $(i,j)$ 成分は $\partial f_i/\partial x_j(\boldsymbol a)$ である。とくに $A$ は一意に定まる。この行列をヤコビ行列と呼び $J_{\boldsymbol f}(\boldsymbol a)$ と書く。$m=1$ のときその 1 行が $\nabla f(\boldsymbol a)$ である。
3. 逆に、各成分 $f_i$ が（$m=1$ の意味で）$\boldsymbol a$ で全微分可能ならば、$\boldsymbol f$ は $\boldsymbol a$ で全微分可能で、$J_{\boldsymbol f}(\boldsymbol a)$ の第 $i$ 行は $\nabla f_i(\boldsymbol a)$ である。