C¹ 級ならば全微分可能（n 変数・ベクトル値）

$\boldsymbol f:U\to\mathbb{R}^m$、$\boldsymbol a\in U$ とし、すべての $\partial f_i/\partial x_j$ が $\boldsymbol a$ のある近傍 $B(\boldsymbol a,r)\subset U$ で存在して $\boldsymbol a$ で連続であるとします。このとき $\boldsymbol f$ は $\boldsymbol a$ で全微分可能で、微分はヤコビ行列 $J_{\boldsymbol f}(\boldsymbol a)=\bigl(\partial f_i/\partial x_j(\boldsymbol a)\bigr)$ です。したがってすべての偏導関数が $U$ で存在して連続（$C^1$ 級）ならば、$\boldsymbol f$ は $U$ の各点で全微分可能です。