$C^k$ 級写像の局所性と合成

$k \in \mathbb{N} \cup \{\infty\}$ とする。

1. （局所性）$\Omega \subset \mathbb{R}^n$ を開集合、$F \colon \Omega \to \mathbb{R}^m$ とする。各点 $a \in \Omega$ に対して $a$ の開近傍 $W_a \subset \Omega$ が存在して $F|_{W_a}$ が $C^k$ 級ならば、$F$ は $\Omega$ 上 $C^k$ 級である。
2. （合成）$\Omega \subset \mathbb{R}^n$, $\Omega' \subset \mathbb{R}^m$ を開集合、$F \colon \Omega \to \mathbb{R}^m$ が $C^k$ 級で $F(\Omega) \subset \Omega'$、$G \colon \Omega' \to \mathbb{R}^l$ が $C^k$ 級とする。このとき $G \circ F \colon \Omega \to \mathbb{R}^l$ は $C^k$ 級であり、$k \ge 1$ のとき各点 $a \in \Omega$ で連鎖律 $D(G \circ F)(a) = DG(F(a)) \, DF(a)$ が成り立つ。