数学 › 微分積分学 › 多変数関数の微分と偏微分

n 変数のテイラーの定理（2 次まで）

定理 9.10（「多変数関数の微分と偏微分」§9） ・ ✓公理まで証明済み

ff を開集合 U⊂RnU\subset\mathbb{R}^n 上の C2C^2 級関数、a∈U\boldsymbol a\in U とし、B(a,r)⊂UB(\boldsymbol a,r)\subset U とします。∥h∥<r\|\boldsymbol h\|<r なる h=(h1,…,hn)T\boldsymbol h=(h_1,\dots,h_n)^{\mathsf{T}} に対し次が成り立ちます。

  1. （ラグランジュ剰余）ある θ∈(0,1)\theta\in(0,1) が存在して
f(a+h)=f(a)+⟨∇f(a),h⟩+12 hTHf(a+θh) h.f(\boldsymbol a+\boldsymbol h)=f(\boldsymbol a)+\langle\nabla f(\boldsymbol a),\boldsymbol h\rangle+\frac12\,\boldsymbol h^{\mathsf{T}}H_f(\boldsymbol a+\theta\boldsymbol h)\,\boldsymbol h .
  1. （ペアノ剰余）h→0\boldsymbol h\to\boldsymbol 0 のとき
f(a+h)=f(a)+⟨∇f(a),h⟩+12 hTHf(a) h+o(∥h∥2).f(\boldsymbol a+\boldsymbol h)=f(\boldsymbol a)+\langle\nabla f(\boldsymbol a),\boldsymbol h\rangle+\frac12\,\boldsymbol h^{\mathsf{T}}H_f(\boldsymbol a)\,\boldsymbol h+o(\|\boldsymbol h\|^2).

ここで ∇f=(∂1f,…,∂nf)T\nabla f=(\partial_1f,\dots,\partial_nf)^{\mathsf{T}}、hTHh=∑i,j∂j∂if hihj\boldsymbol h^{\mathsf{T}}H\boldsymbol h=\sum_{i,j}\partial_j\partial_if\,h_ih_j です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 23 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件