曲率テンソルの対称性

定理 6.3（「曲がった時空のテンソル解析」§6）・ ✓公理まで証明済み

$R_{\mu\nu\alpha\beta}$ は次を満たす。

$R_{\mu\nu\alpha\beta}=-R_{\mu\nu\beta\alpha}$ 。
$R_{\mu\nu\alpha\beta}=-R_{\nu\mu\alpha\beta}$ 。
$R_{\mu\nu\alpha\beta}=R_{\alpha\beta\mu\nu}$ 。
（第 1 ビアンキ恒等式） $R_{\mu\nu\alpha\beta}+R_{\mu\alpha\beta\nu}+R_{\mu\beta\nu\alpha}=0$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 31 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Riemann 曲率テンソル定義 6.1・曲がった時空のテンソル解析
テンソル等式は 1 つの座標系で確かめれば足りる✓補題 4.2・曲がった時空のテンソル解析
- テンソルの変換則✓命題 2.2・曲がった時空のテンソル解析
  - 共変と反変✓命題 4.3・ベクトル場と微分形式
    座標微分は双対基底✓命題 4.2・ベクトル場と微分形式
- 接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析
  - 接続（共変微分）定義 3.1・曲がった時空のテンソル解析
- 局所慣性座標の存在✓定理 4.1・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）
局所慣性座標の存在✓定理 4.1・曲がった時空のテンソル解析
- Lorentz 計量と時空定義 2.3・曲がった時空のテンソル解析
- 逆関数定理✓定理 4.1・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
  - ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 縮小写像の原理（バナッハの不動点定理）✓定理 3.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値
    実数の完備性（コーシーの収束判定法）✓定理 7.3・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質
    余因子展開（ラプラス展開）✓定理 5.2・行列式とその性質この先をたどる →
    行列式の特徴づけ✓定理 4.2・行列式とその性質この先をたどる →
    転置不変性と三角行列✓命題 3.3・行列式とその性質この先をたどる →
- テンソルの変換則✓命題 2.2・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）
- 接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）
- Levi-Civita 接続の存在と一意性✓定理 3.4・曲がった時空のテンソル解析
  - 接続の成分表示✓命題 3.3・曲がった時空のテンソル解析（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 5 件

Lorentz 版の Gauss の補題✓補題 4.2・Lorentz 多様体の因果構造
リッチテンソルの対称性✓命題 2.2・Einstein 方程式
縮約ビアンキ恒等式✓定理 2.4・Einstein 方程式
線形化された曲率✓命題 6.1・Einstein 方程式
測地線偏差方程式✓定理 7.1・曲がった時空のテンソル解析

曲率テンソルの対称性

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件