数学 › 微分幾何学 › Lorentz 多様体の因果構造
時間的未来の開性
任意の について と は開集合である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 96 件、定義なども含めて 115 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
一様な正規近傍（Lorentz 版）✓補題 4.3・Lorentz 多様体の因果構造
一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性
指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
- 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造
測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
- 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
- シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分 この先をたどる →
Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性
- 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）
- 平行移動の存在と線形性✓定理 6.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
- 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系 この先をたどる →
指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性
- 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
- Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性（上で展開済み）
- 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性（上で展開済み）
多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
- 多様体間の 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
局所因果構造✓定理 4.4・Lorentz 多様体の因果構造
Lorentz 版の Gauss の補題✓補題 4.2・Lorentz 多様体の因果構造
- Lorentz 計量の指数写像と Jacobi 場✓補題 4.1・Lorentz 多様体の因果構造（上で展開済み）
曲率テンソルの対称性✓定理 6.3・曲がった時空のテンソル解析
- Riemann 曲率テンソル定義 6.1・曲がった時空のテンソル解析
- テンソル等式は 1 つの座標系で確かめれば足りる✓補題 4.2・曲がった時空のテンソル解析 この先をたどる →
- 局所慣性座標の存在✓定理 4.1・曲がった時空のテンソル解析 この先をたどる →
Levi-Civita 接続の存在と一意性✓定理 3.4・曲がった時空のテンソル解析
- 時間錐の基本性質✓補題 2.1・Lorentz 多様体の因果構造
- 時間錐の基本性質✓補題 2.1・Lorentz 多様体の因果構造
- 一様な正規近傍（Lorentz 版）✓補題 4.3・Lorentz 多様体の因果構造（上で展開済み）
- 因果関係の推移性✓命題 3.3・Lorentz 多様体の因果構造
これを使っている定理 証明で参照している 6 件
- 強因果的ならば識別的✓命題 4.3・因果階層
- 因果的に単純な時空の性質✓補題 4.6・因果階層
- 押し上げ補題✓系 4.6・Lorentz 多様体の因果構造
- 全悪性の言い換え✓命題 5.2・Lorentz 多様体の因果構造
- コンパクトな時空の閉じた時間的曲線✓定理 5.3・Lorentz 多様体の因果構造
- 時間的過去の境界は非時間的✓補題 6.2・Lorentz 多様体の因果構造