数学 › 微分幾何学 › 測地線と完備性

指数写像が全域で定義される点からの最短測地線

補題 5.1（「測地線と完備性」§5） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 79 件、定義なども含めて 95 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Riemann 距離✓命題 4.3・測地線と完備性

  • 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性

    • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

      • 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
    • 測地線の存在と一意性✓命題 2.2・測地線と完備性

      • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
    • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理

      • 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
      • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  • 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）
• 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性

  • Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性

    • 指数写像の微分と Jacobi 場✓命題 3.4・測地線と完備性

      • 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
      • Jacobi 場の基本性質✓命題 3.3・測地線と完備性 この先をたどる →
      • 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性 この先をたどる →
    • 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
• 最短曲線は測地線✓系 4.5・測地線と完備性

  • 一様な正規近傍✓補題 4.4・測地線と完備性

    • 指数写像の基本性質✓命題 2.4・測地線と完備性（上で展開済み）
    • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  • 測地線の局所最短性✓定理 4.2・測地線と完備性（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

• Hopf–Rinow の定理✓定理 5.2・測地線と完備性

関連するノック 1 問

• 微分幾何学 第 42 問