数学 › 微分幾何学 › 曲率テンソル

曲率テンソルの対称性

命題 3.1（「曲率テンソル」§3）・ ✓公理まで証明済み

任意の $X,Y,Z,W$ について次が成り立つ。

$R(X,Y,Z,W)=-R(Y,X,Z,W)$ 。
$R(X,Y,Z,W)=-R(X,Y,W,Z)$ 。
（第 1 Bianchi 恒等式） $R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y=0$ 。
$R(X,Y,Z,W)=R(Z,W,X,Y)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理証明で参照している 9 件

Ricci 形式と第一 Chern 類✓定理 7.2・Kähler 多様体
縮約 Bianchi 恒等式✓系 5.2・曲率テンソル
Gauss の補題✓定理 4.1・測地線と完備性
第一・第二変分公式✓定理 6.3・測地線と完備性
共役点を越えた測地線は最短でない✓定理 6.5・測地線と完備性
正規座標での計量の展開✓補題 6.2・熱核の漸近展開
Bochner の公式と消滅定理✓系 5.4・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
スピン接続の曲率✓命題 6.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
閉曲面の全スカラー曲率は計量によらない✓命題 4.3・ポアンカレ予想 I

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