第一・第二変分公式

定理 6.3（「測地線と完備性」§6）・ ✓公理まで証明済み

$\gamma\colon[0,a]\to M$ を測地線、 $V$ を $\gamma$ に沿った区分的に滑らかなベクトル場で $V(0)=0$ 、 $V(a)=0$ とする。 $|s|$ が小さいとき $c_s(t)=\exp_{\gamma(t)}(sV(t))$ は $\gamma(0)$ と $\gamma(a)$ を結ぶ区分的に滑らかな曲線で、

\frac{d}{ds}\Big|_{s=0}E(c_s)=0,\qquad\frac{d^2}{ds^2}\Big|_{s=0}E(c_s)=I(V,V):=\int_0^a\Bigl(|D_tV|^2-\langle R(V,\dot\gamma)\dot\gamma,V\rangle\Bigr)dt.

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 15 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性
- 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
  - 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続
    テンソル判定補題✓補題 2.1・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
    Riemann 計量の存在✓定理 3.6・Riemann 計量と Levi-Civita 接続この先をたどる →
- シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
    背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性
曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル

これを使っている定理証明で参照している 1 件

指数形式が負なら最短でない✓補題 6.4・測地線と完備性

第一・第二変分公式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

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