数学 › 微分幾何学 › 測地線と完備性

指数形式が負なら最短でない

補題 6.4（「測地線と完備性」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 第一・第二変分公式✓定理 6.3・測地線と完備性

  • 対称性補題と曲率✓補題 3.1・測地線と完備性

    • 曲線に沿った共変微分✓定理 4.3・Riemann 計量と Levi-Civita 接続

      • 接続の局所性と Christoffel 記号✓命題 4.2・Riemann 計量と Levi-Civita 接続 この先をたどる →
    • シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分

      • 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性 この先をたどる →
  • 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 共役点を越えた測地線は最短でない✓定理 6.5・測地線と完備性
• Bonnet–Myers の定理✓定理 6.6・測地線と完備性

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