近傍・除外近傍・集積点

定義 2.1（「極限と連続性」§2）

$a \in \mathbb{R}$ と $\delta > 0$ に対して

U_\delta(a) = \{\, x \in \mathbb{R} : |x - a| < \delta \,\}, \qquad U_\delta^{*}(a) = \{\, x \in \mathbb{R} : 0 < |x - a| < \delta \,\}

をそれぞれ $a$ の $\delta$ -近傍、除外 $\delta$ -近傍という。 $U_\delta(a)$ は開区間 $(a-\delta,\ a+\delta)$ に等しく、 $U^{*}_\delta(a)$ はそこから点 $a$ だけを取り除いた集合である。

さらに $A \subseteq \mathbb{R}$ と $a \in \mathbb{R}$ について、

\forall \delta > 0,\quad U^{*}_\delta(a) \cap A \ne \emptyset

が成り立つとき、 $a$ を $A$ の集積点という。

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。