数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

スピン接続の曲率

命題 6.9（「Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 42 件、定義なども含めて 48 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• μ の性質✓補題 6.7・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素

  • Clifford 関係式✓補題 8.3・行列 Lie 群と指数写像
  • Spin(n) は SO(n) の連結な 2 重被覆✓定理 8.6・行列 Lie 群と指数写像

    • Clifford 関係式✓補題 8.3・行列 Lie 群と指数写像
    • 直交変換は鏡映の積✓補題 8.5・行列 Lie 群と指数写像
    • 微分が同型な全射準同型は被覆写像✓補題 8.1・行列 Lie 群と指数写像

      • 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  • 連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する✓定理 5.1・行列 Lie 群と指数写像

    • 連続な 1 径数部分群✓補題 4.4・行列 Lie 群と指数写像

      • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
    • Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像

      • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
    • 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
  • 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像

    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    • 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環

      • 指数写像定義 6.1・リー群とリー環
    • Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
    • 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
    • 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
    • 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像

      • 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定 この先をたどる →
• Cartan の構造方程式✓定理 6.2・曲率テンソル

  • 1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

      • 引き戻しは ∧ と d を保つ✓補題 3.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
      • $L_X Y$ は Lie 括弧✓定理 3.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    • Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

      • 内部積は反導分✓補題 4.1・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
      • 外微分の存在と一意性✓定理 6.2・ベクトル場と微分形式 この先をたどる →
      • 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
      • 外微分の局所性✓補題 6.3・ベクトル場と微分形式
• 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• スピノル束の Lichnerowicz 公式✓系 6.10・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
• 2 次元の twisted Dirac 作用素の性質✓補題 3.6・指数定理