数学 › 微分幾何学 › Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
スピノル束の Lichnerowicz 公式
スピン多様体 のスピノル束 の Dirac 作用素は をみたす。とくに がコンパクトで なら、 となる切断（調和スピノル）は だけである。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 46 件、定義なども含めて 52 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
スピン接続✓命題 6.8・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
μ の性質✓補題 6.7・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Clifford 関係式✓補題 8.3・行列 Lie 群と指数写像
Spin(n) は SO(n) の連結な 2 重被覆✓定理 8.6・行列 Lie 群と指数写像
- Clifford 関係式✓補題 8.3・行列 Lie 群と指数写像
- 直交変換は鏡映の積✓補題 8.5・行列 Lie 群と指数写像
- 微分が同型な全射準同型は被覆写像✓補題 8.1・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
連続準同型は Lie 環の準同型を誘導する✓定理 5.1・行列 Lie 群と指数写像
- 連続な 1 径数部分群✓補題 4.4・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
- Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
- 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像（上で展開済み）
閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 指数写像は原点の近くで微分同相✓定理 6.4・リー群とリー環 この先をたどる →
- Lie 環に横断的な小さい元は群に入らない✓補題 4.1・行列 Lie 群と指数写像
- 埋め込み部分多様体定義 4.1・部分多様体と正則値定理
- 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
- 指数関数と対数関数の基本性質✓補題 2.1・行列 Lie 群と指数写像 この先をたどる →
スピン接続の曲率✓命題 6.9・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- μ の性質✓補題 6.7・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素（上で展開済み）
Cartan の構造方程式✓定理 6.2・曲率テンソル
1 形式の外微分の公式✓系 4.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
- 微分形式の Lie 微分の性質✓命題 3.4・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
- Cartan の公式✓定理 4.2・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
- 曲率テンソルの対称性✓命題 3.1・曲率テンソル
Lichnerowicz の公式✓定理 5.5・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
- Weitzenböck 公式✓定理 5.3・Hodge 理論と Laplace–Beltrami 作用素
これを使っている定理
証明で明示的に参照している定理は、まだありません。