数学 › Lie 群と Lie 環の表現論 › 行列 Lie 群と指数写像

指数関数と対数関数の基本性質

補題 2.1（「行列 Lie 群と指数写像」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 二重級数の和の順序交換✓定理 7.11・級数と収束判定

  • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定

    • 単調有界定理✓定理 2.1・級数と収束判定
  • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定

    • 三角不等式✓定理 3.4・複素数と複素平面

      • 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面（上で展開済み）
    • 共役と絶対値の基本法則✓命題 3.2・複素数と複素平面

      • 複素数体の基本性質✓定理 2.2・複素数と複素平面
    • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定（上で展開済み）
    • 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定

      • 級数のコーシーの判定条件✓定理 3.8・級数と収束判定 この先をたどる →
      • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  • ディリクレの定理（絶対収束する級数の並べ替え）✓定理 7.10・級数と収束判定

    • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）
    • 複素数の数列・級数の基本性質✓補題 7.8・級数と収束判定（上で展開済み）
    • 絶対収束すれば収束する✓定理 7.2・級数と収束判定（上で展開済み）
    • 数列の極限の基本性質✓命題 2.2・数列と関数の極限
  • 比較判定法✓定理 4.2・級数と収束判定

    • 有限個の項の変更・定数倍・和✓命題 3.2・級数と収束判定
    • 正項級数の収束と有界性✓命題 4.1・級数と収束判定（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 21 件

• Lie–Trotter の積公式✓命題 2.2・行列 Lie 群と指数写像
• 閉部分群定理（行列 Lie 群版）✓定理 4.2・行列 Lie 群と指数写像
• 連続な 1 径数部分群✓補題 4.4・行列 Lie 群と指数写像
• BCH 公式（積分表示と収束域）✓定理 6.2・行列 Lie 群と指数写像
• 単連結な群への持ち上げ（Lie の第 2 定理）✓定理 7.1・行列 Lie 群と指数写像
• 指数・対数・プラケットの評価✓補題 2.5・Bałaban『Large field renormalization I』(1989) 第 1 部
• Haar 測度の指数座標での密度✓補題 4.1・Bałaban『Large field renormalization II』精読 第 1 部
• $V_Λ$ の解析的因子分解✓命題 4.1・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 2 部
• 延長した臨界配置とその平均✓命題 5.1・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 2 部
• U''_k の 4 段の展開✓命題 7.3・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 2 部
• 小場の成分では $χ_{k,Λ}χ = 1$✓命題 11.3・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 2 部
• 1 − χ′ の第 1 の場合✓補題 4.5・Bałaban『Large field renormalization II』(1989) 第 3 部
• ユニタリ行列の対数（原論文 (23)–(25)）✓補題 2.2・準備 1
• 級数の対数と指数の評価（原論文 (26)(27)）✓補題 2.3・準備 1
• 積の対数の 2 次の剰余（原論文 (29)–(31)）✓補題 2.5・準備 1
• 積と共役の評価✓補題 2.12・準備 2
• 軸ゲージでの表示の減衰（RG III (1.21) の $H_{1,\mathrm{Ax}}$、大場の論文 I (1.80)、II (1.17)）✓命題 9.8・準備 4
• 揺らぎ場についての展開（原論文 (2.4)–(2.8)）✓命題 6.3・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 作用素 $h$（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.4・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• 線形化変換 $B'=B-h\tilde D(B)$（原論文 (2.10) の後）✓補題 6.6・Bałaban『Renormalization group approach to lattice gauge field theories I』精読 第 1 部
• Jacobi 行列式の指数化（原論文 (1.24)）✓補題 8.3・Bałaban『Convergent renormalization expansions for lattice gauge theories』(1988)

関連するノック 3 問

• Lie 群と表現論 第 4 問
• Lie 群と表現論 第 8 問
• Lie 群と表現論 第 9 問